- Problema 5.28. Toda função contínua e periódica em
é uniformemente contínua.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função contínua e periódica
é uniformemente contínua. O conteúdo principal aqui é o fato de que uma função contínua num intervalo compacto é uniformemente contínua, combinado com a periodicidade para estender esse comportamento a todo
.
Passo 2
Seja
um período de
, ou seja,
Como
é contínua em
, em particular ela é contínua no intervalo compacto
. Pelo Teorema de Heine–Cantor,
é uniformemente contínua em
.
Passo 3
Da uniformidade em
, temos: para dado
existe
tal que
Passo 4
Agora tome quaisquer
com
Escolha um inteiro
tal que
Então defina
. Como subtrair ou somar
não altera o valor de
, temos
Além disso,
e
,
. Mas o teste de uniformidade vale sempre que ambos estiverem em
. Se
, basta notar que
implica que
fica dentro de um intervalo de extensão
ao redor de
, e esse intervalo está contido em
. Entretanto podemos aplicar o mesmo truque de traduzir
por um múltiplo de
de modo a trazê-lo de volta a
sem alterar
. O importante é que a distância entre as cópias traduzidas de
e
permaneça
, permitindo usar a uniformidade em
.
Passo 5
Aplicando a definição de
temos então
Isso vale para quaisquer
com
, provando que
é uniformemente contínua em todo
.
Resposta
Qualquer função contínua e periódica em
é uniformemente contínua.