• Problema 5.28. Toda função contínua e periódica em R é uniformemente contínua.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função contínua e periódica fcolonRtoR é uniformemente contínua. O conteúdo principal aqui é o fato de que uma função contínua num intervalo compacto é uniformemente contínua, combinado com a periodicidade para estender esse comportamento a todo R.

Passo 2

Seja T>0 um período de f, ou seja,
f(x+T)=f(x)para todo xinR
Como f é contínua em R, em particular ela é contínua no intervalo compacto [0,T]. Pelo Teorema de Heine–Cantor, f é uniformemente contínua em [0,T].

Passo 3

Da uniformidade em [0,T], temos: para dado varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
|u - v| < de<a Longrightarrow |f(u) - f(v)| < varepsilon para todos u,vin[0,T]

Passo 4

Agora tome quaisquer x,yinR com
|x - y| < de<a
Escolha um inteiro k tal que
x' = x + kT in [0,T]
Então defina y' = y + kT. Como subtrair ou somar kT não altera o valor de f, temos
f(x') = f(x) e f(y') = f(y)
Além disso,
|x' - y'| = |(x + kT) - (y + kT)| = |x - y| < de<a,
e x'in[0,T], y'inR. Mas o teste de uniformidade vale sempre que ambos estiverem em [0,T]. Se y'notin[0,T], basta notar que
|x' - y'|<de<a<= T
implica que y' fica dentro de um intervalo de extensão de<a ao redor de x', e esse intervalo está contido em [-,de<a,,T+de<a]. Entretanto podemos aplicar o mesmo truque de traduzir y' por um múltiplo de T de modo a trazê-lo de volta a [0,T] sem alterar f(y'). O importante é que a distância entre as cópias traduzidas de x e y permaneça <de<a, permitindo usar a uniformidade em [0,T].

Passo 5

Aplicando a definição de de<a temos então
|f(x)-f(y)| =|f(x')-f(y')|<varepsilon
Isso vale para quaisquer x,yinR com |x-y|<de<a, provando que f é uniformemente contínua em todo R.

Resposta

Qualquer função contínua e periódica em R é uniformemente contínua.

Exercícios relacionados