Exercício 5. Sejam
. Mostre que:
se, e somente se,
se
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para
com
, vale
O conteúdo aqui é a preservação da ordem em
pela multiplicação por um natural não-nulo. Vamos usar a definição de ordem em
:
significa que existe
tal que
, e
significa
e
. Também precisaremos do algoritmo da divisão em
para obter a propriedade de cancelamento de um fator
.
Passo 2
(Prova de
e
).
Se , então existe
com
Se
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
o que, pela definição de ordem, diz
.
Se além disso , então
, logo
, o que impede
. Portanto
.
Se além disso
Passo 3
(Prova de
e
, usando
).
Suponha . Então existe
tal que
Suponha
Pelo algoritmo da divisão em
, escrevemos
Substituindo em
dá
Como
, a igualdade só pode ocorrer se
(caso contrário o lado direito não seria múltiplo de
inteiro). Logo
e
Como
, podemos cancelar
e concluir
o que significa
.
Se além disso
, então
, o que implica
. Daí
, isto é,
.
Resposta
Mostramos assim as duas direções para cada tipo de desigualdade, concluindo
sempre que
.