Exercício 5. Sejam m, n, p in N. Mostre que:
m <=(<) n se, e somente se, m p <=(<) n p se p neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para m,n,pinN com pneq0, vale
m<= niff m,p<= n,p e m< niff m,p< n,p
O conteúdo aqui é a preservação da ordem em N pela multiplicação por um natural não-nulo. Vamos usar a definição de ordem em N:
;m<= n significa que existe kinN tal que n=m+k, e ;m<n significa m<= n e mneq n. Também precisaremos do algoritmo da divisão em N para obter a propriedade de cancelamento de um fator pneq0.

Passo 2

(Prova de m<= nimplies m,p<= n,p e m<nimplies m,p<n,p).
Se m<= n, então existe kinN com
n=m+k
Multiplicando ambos os lados por p obtemos
n,p = (m+k),p = m,p + k,p,
o que, pela definição de ordem, diz m,p<= n,p.
Se além disso m<n, então kneq0, logo k,pneq0, o que impede m,p = n,p. Portanto m,p<n,p.

Passo 3

(Prova de m,p<= n,pimplies m<= n e m,p<n,pimplies m<n, usando pneq0).
Suponha m,p<= n,p. Então existe kinN tal que
n,p = m,p + k
Pelo algoritmo da divisão em N, escrevemos
k = p,q + r, q,rinN, 0<= r < p
Substituindo em n,p = m,p + k
n,p = m,p + (p,q + r) = (m+q),p + r
Como r<p, a igualdade só pode ocorrer se r=0 (caso contrário o lado direito não seria múltiplo de p inteiro). Logo k=p,q e
n,p = (m+q),p
Como pneq0, podemos cancelar p e concluir
n = m+q,
o que significa m<= n.
Se além disso m,p<n,p, então kneq0, o que implica qneq0. Daí n=m+q>m, isto é, m<n.

Resposta

Mostramos assim as duas direções para cada tipo de desigualdade, concluindo
m<= niff m,p<= n,p, m< niff m,p< n,p,
sempre que pneq0.

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