- Problema 5.27. Se
é uniformemente contínua, então pode ser estendida a
de modo a continuar uniformemente contínua.
Passo 1
Resumindo, temos uma função
que é uniformemente contínua. Queremos mostrar que existem os limites laterais
e
, definir valores em
e
usando esses limites e então provar que a extensão resultante em
continua uniformemente contínua. Usaremos o fato de que sequências cujos termos se aproximam de um mesmo ponto geram imagens em
que são Cauchy (pela uniformidade) e, em seguida, aplicaremos o Teorema de Heine–Cantor.
Passo 2
Provar que
existe. Seja
. Como
é uniformemente contínua, existe
tal que, para quaisquer
,
Agora tome qualquer sequência
com
. Para
grandes,
, logo
. Isso mostra que
é de Cauchy e, como
é completo,
converge. Portanto existe o limite
Passo 3
Provar que
existe. O mesmo argumento do passo anterior vale na vizinhança de
. Ou seja, para toda
existe
tal que
implica
. Se
, então
é de Cauchy e converge. Denotemos
Passo 4
Definir a extensão
Vamos mostrar que (o argumento em
é análogo). Dado
, pela definição de
existe
tal que, para
com
, temos
. Mas então
o que mostra continuidade em
. Idem em
.
Passo 5
Concluir que
é uniformemente contínua em
. Já mostramos que
é contínua em todo o intervalo fechado e, como
é compacto, o Teorema de Heine–Cantor garante que
é uniformemente contínua em
.
Resposta
Definindo
e estendendo
em
pelos valores
em
e
em
, obtemos uma função contínua em
que, por compacidade, é também uniformemente contínua.