• Problema 5.27. Se f:(a, b) R é uniformemente contínua, então pode ser estendida a [a, b] de modo a continuar uniformemente contínua.

Passo 1

Resumindo, temos uma função fcolon(a,b)toR que é uniformemente contínua. Queremos mostrar que existem os limites laterais limxto a^+f(x) e limxto b^-f(x), definir valores em a e b usando esses limites e então provar que a extensão resultante em [a,b] continua uniformemente contínua. Usaremos o fato de que sequências cujos termos se aproximam de um mesmo ponto geram imagens em f que são Cauchy (pela uniformidade) e, em seguida, aplicaremos o Teorema de Heine–Cantor.

Passo 2

Provar que limxto a^+f(x) existe. Seja varepsilon>0. Como f é uniformemente contínua, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin(a,b),
|x-y|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilon
Agora tome qualquer sequência (xn)subset(a,b) com xnto a^+. Para n,m grandes, |xn-xm|<de<a, logo |f(xn)-f(xm)|<varepsilon. Isso mostra que (f(xn)) é de Cauchy e, como R é completo, (f(xn)) converge. Portanto existe o limite
L ;=;limxto a^+f(x)inR

Passo 3

Provar que limxto b^-f(x) existe. O mesmo argumento do passo anterior vale na vizinhança de b. Ou seja, para toda varepsilon>0 existe de<a>0 tal que |x-y|<de<a implica |f(x)-f(y)|<varepsilon. Se xnto b^-, então (f(xn)) é de Cauchy e converge. Denotemos
M ;=;limxto b^-f(x)inR

Passo 4

Definir a extensão
Vamos mostrar que (o argumento em é análogo). Dado , pela definição de existe tal que, para com , temos . Mas então
o que mostra continuidade em . Idem em .

Passo 5

Concluir que tilde f é uniformemente contínua em [a,b]. Já mostramos que tilde f é contínua em todo o intervalo fechado e, como [a,b] é compacto, o Teorema de Heine–Cantor garante que tilde f é uniformemente contínua em [a,b].

Resposta

Definindo
limxto a^+f(x)=L, limxto b^-f(x)=M
e estendendo f em [a,b] pelos valores L em a e M em b, obtemos uma função contínua em [a,b] que, por compacidade, é também uniformemente contínua.

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