Exercício 2. Seja G o conjunto de retas no plano R^2 com coeficiente angular não nulo, isto é,
G=f: R R mid f(x)=a x+b, a neq 0
Mostre que (G, circ) é um grupo não abeliano, onde o é a operação composição de funções.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G = ,fcolon RtoRmid f(x)=a x + b,;aneq 0
e pede para mostrar que (G,circ), com circ sendo composição de funções, é um grupo que não é abeliano. O conteúdo envolve verificar as propriedades de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos) e depois dar um exemplo que mostra a não comutatividade.

Passo 2

(Fechamento)
Sejam
f(x)=a x + b, g(x)=c x + d
com aneq0 e cneq0. Então
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=al(c x + dr)+b = (a,c),x + (a,d + b)
Como a,cneq0, temos fcirc gin G. Logo G é fechado sob composição.

Passo 3

(Associatividade)
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer f,g,hin G,
(fcirc g)circ h = fcirc (gcirc h)
Não precisamos de conta adicional, pois isso vale em geral para funções.

Passo 4

(Elemento neutro)
A função identidade
id(x)=1cdot x + 0
está em G (usei a=1neq0 e b=0) e satisfaz
idcirc f = f = fcirc id
para todo fin G. Logo id é o elemento neutro.

Passo 5

(Inverso)
Dada f(x)=a x + b com aneq0, a inversa é
f^-1(x)=x - ba = 1a,x - b a
Note que o coeficiente angular tfrac1a é não nulo, então f^-1in G. Além disso
fcirc f^-1 = id, f^-1circ f = id

Passo 6

(Não abeliano)
Basta dar um exemplo. Tome
f(x)=2x, g(x)=x+1
Então
(fcirc g)(x)=2,(x+1)=2x+2,
enquanto
(gcirc f)(x)=(2x)+1=2x+1
Como 2x+2neq 2x+1, temos fcirc gneq gcirc f. Logo (G,circ) não é abeliano.

Resposta

Mostramos que (G,circ) satisfaz fechamento, associatividade, tem elemento neutro e inversos, e demos um exemplo em que a composição falha em ser comutativa. Portanto (G,circ) é um grupo não abeliano.

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