Exercício 2. Seja
o conjunto de retas no plano
com coeficiente angular não nulo, isto é,
Mostre que
é um grupo não abeliano, onde o é a operação composição de funções.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que
, com
sendo composição de funções, é um grupo que não é abeliano. O conteúdo envolve verificar as propriedades de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos) e depois dar um exemplo que mostra a não comutatividade.
Passo 2
(Fechamento)
Sejam
Sejam
com
e
. Então
Como
, temos
. Logo
é fechado sob composição.
Passo 3
(Associatividade)
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer ,
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer
Não precisamos de conta adicional, pois isso vale em geral para funções.
Passo 4
(Elemento neutro)
A função identidade
A função identidade
está em
(usei
e
) e satisfaz
para todo
. Logo
é o elemento neutro.
Passo 5
(Inverso)
Dada com
, a inversa é
Dada
Note que o coeficiente angular
é não nulo, então
. Além disso
Passo 6
(Não abeliano)
Basta dar um exemplo. Tome
Basta dar um exemplo. Tome
Então
enquanto
Como
, temos
. Logo
não é abeliano.
Resposta
Mostramos que
satisfaz fechamento, associatividade, tem elemento neutro e inversos, e demos um exemplo em que a composição falha em ser comutativa. Portanto
é um grupo não abeliano.