Exercício 1 - Seja f(x)=x^3-9 x+3 e x0=0,5 e x1=0,7. Dado que xi in(0,1), encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo método das secantes, com precisão varepsilon=10^-4.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o zero de f(x)=x^3-9x+3 no intervalo (0,1) usando o método das secantes, com pontos iniciais x0=0,5, x1=0,7 e precisão varepsilon=10^-4. O método das secantes é um procedimento iterativo de busca de raízes que substitui a derivada pela inclinação da reta que une (xn-2,f(xn-2)) e (xn-1,f(xn-1)). A cada iteração usamos
xn ;=; xn-1;-;f(xn-1),xn-1-xn-2f(xn-1)-f(xn-2)
e paramos quando lvert xn-xn-1rvert<varepsilon.

Passo 2

Primeiro avalio as funções nos pontos iniciais:
f(x0)=f(0,5)=(0,5)^3-9cdot0,5+3=-1,375,
f(x1)=f(0,7)=(0,7)^3-9cdot0,7+3=-2,957

Passo 3

Aplico a fórmula para obter x2:
x2=0,7 ;-;(-2,957),0,7-0,5-2,957-(-1,375) =0,3260
Depois calculo
f(x2)=(0,3260)^3-9cdot0,3260+3approx0,1007

Passo 4

Com x1, x2 e seus valores, obtenho x3:
x3=0,3260 ;-;0,1007,0,3260-0,70,1007-(-2,957) approx0,3383,
e então
f(x3)approx(0,3383)^3-9cdot0,3383+3approx-0,0060

Passo 5

Repito para x4:
x4=0,3383 ;-;(-0,0060),0,3383-0,3260-0,0060-0,1007 approx0,3376,
e
f(x4)approx(0,3376)^3-9cdot0,3376+3approx0,000068

Passo 6

Faço mais uma iteração para checar o critério:
x5=0,3376 ;-;0,000068,0,3376-0,33830,000068-(-0,0060) approx0,337608,
e verifico
lvert x5-x4rvertapprox7,8times10^-6<10^-4,
então paro aqui.

Resposta

O zero de f obtido pelo método das secantes é aproximadamente
xapprox0,3376

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