Exercício 10 - Mostre que
tem apenas um zero real e determine seu valor correto até 5 casas decimais usando o método de Newton, com no máximo 6 iterações. Considere
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem exatamente uma raiz real e, em seguida, usar o método de Newton para aproximá-la com 5 casas decimais, partindo de
e fazendo no máximo 6 iterações. O conteúdo envolve análise de monotonicidade (para garantir unicidade) e aplicação da fórmula de Newton–Raphson.
Passo 2
Vamos achar a derivada e mostrar que
é estritamente crescente para
.
Como
, temos
Para
vem
logo
em
, isto é,
é estritamente crescente a partir de 2.
Passo 3
Como
é contínua, basta achar uma troca de sinal em
:
Pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em
, e pela monotonicidade em
ela é única. Fora desse intervalo
não muda de sinal, pois para
e para
.
Passo 4
O método de Newton-Raphson itera
onde
Passo 5
Aplicando a partir de
até
, obtemos:
A diferença
garante que já temos 5 casas estáveis.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz real, e seu valor aproximado com 5 casas decimais é