Exercício 10 - Mostre que f(x)=x^3-2 x^2-5-sen(x) tem apenas um zero real e determine seu valor correto até 5 casas decimais usando o método de Newton, com no máximo 6 iterações. Considere x0=2,1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x^3-2x^2-5-sen(x)
tem exatamente uma raiz real e, em seguida, usar o método de Newton para aproximá-la com 5 casas decimais, partindo de x0=2,1 e fazendo no máximo 6 iterações. O conteúdo envolve análise de monotonicidade (para garantir unicidade) e aplicação da fórmula de Newton–Raphson.

Passo 2

Vamos achar a derivada e mostrar que f é estritamente crescente para x>=2.
f'(x)=3x^2-4x-cos(x)
Como cos(x)<=1, temos
f'(x)>=3x^2-4x-1
Para x>=2 vem
3x^2-4x-1>=3cdot2^2-4cdot2-1=12-8-1=3>0,
logo f'(x)>0 em [2,infty), isto é, f é estritamente crescente a partir de 2.

Passo 3

Como f é contínua, basta achar uma troca de sinal em [2,3]:
f(2)=2^3-2cdot2^2-5-sen(2)=8-8-5-sen(2)<0,
f(3)=3^3-2cdot3^2-5-sen(3)=27-18-5-sen(3)>4-1=3>0
Pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em (2,3), e pela monotonicidade em [2,3] ela é única. Fora desse intervalo f(x) não muda de sinal, pois para x<2 f(x)<f(2)<0 e para x>3 f(x)>f(3)>0.

Passo 4

O método de Newton-Raphson itera
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
onde
f(x)=x^3-2x^2-5-sen(x), f'(x)=3x^2-4x-cos(x)

Passo 5

Aplicando a partir de x0=2,1 até x6, obtemos:
x1approx3,11616, x2approx2,78717, x3approx2,72841, x4approx2,72648, x5approx2,72654, x6approx2,72656
A diferença lvert x6-x5rvertapprox0,00002<0,000005 garante que já temos 5 casas estáveis.

Resposta

A função f tem exatamente uma raiz real, e seu valor aproximado com 5 casas decimais é
2,72656

Exercícios relacionados