e pede em (a) avaliar f em três pontos, em (b) esboçar o gráfico e em (c) determinar onde f(x)>0. Vamos usar definição de função por partes, esboço de reta e parábola, e resolver desigualdades lineares e quadráticas.
Passo 2
Para (a) avaliaremos cada ponto usando a regra que cabe no seu intervalo:
Em x=0 usamos o ramo 0<= x<4, logo
f(0)=2cdot 0 - 5 = -5
Em x=3 também cai em 0<= x<4, logo
f(3)=2cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1
Em x=4 usamos o ramo x>= 4, logo
f(4) = -4^2 + 4 = -16 + 4 = -12
Passo 3
Para (b) esboçamos cada parte:
No intervalo x<0 é a reta y = x + 3. Ela cruza o eixo x em x = -3 e em x=0 atinge y=3, mas como x=0 não está incluído, esse ponto fica com círculo aberto em (0,3).
Em 0 <= x < 4 é a reta y = 2x - 5. Em x=0 temos ponto fechado em (0,-5); em x=4 a reta daria y=3, mas como 4 não pertence, colocamos círculo aberto em (4,3). A reta passa por zero em x=2,5.
Em x >= 4 é a parábola voltada para baixo y = -x^2 + 4. Em x=4 esse ramo começa num ponto fechado (4,-12) e depois decresce mais ainda (valores sempre negativos).
Passo 4
Para (c) resolvemos f(x) > 0 em cada ramo e intersectamos com as restrições:
Se x < 0, x + 3 > 0 implica x > -3. Combinando x > -3 e x < 0 dá
-3 < x < 0
Se 0 <= x < 4, 2x - 5 > 0 implica x > 2,5. Intersectando com 0 <= x < 4 dá
2,5 < x < 4
Se x >= 4, -x^2 + 4 > 0 implica x^2 < 4, mas isso não ocorre para x >= 4.
Logo não há soluções ali.
Resposta
(a) f(0)=-5, f(3)=1, f(4)=-12.
(b) Gráfico: reta y=x+3 para x<0 (círculo aberto em (0,3)), reta y=2x-5 em [0,4) (pontos fechados em (0,-5), aberto em (4,3)), e parábola y=-x^2+4 para x>=4 (ponto fechado em (4,-12)).
(c) f(x)>0 em (-3,0)cup(2,5,4).