Resolva as seguintes equações modulares:
|x-7|-|3 x-1|=-x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valores absolutos
|x-7| - |3x-1| = -x + 3.
O conteúdo é equações modulares, que se resolvem dividindo o domínio segundo os pontos em que os termos dentro dos módulos mudam de sinal, aqui em x=7 e em x=tfrac13.

Passo 2

Identificamos os pontos em que cada módulo troca de expressão:
x-7=0implies x=7, 3x-1=0implies x=tfrac13
Isso divide o eixo real em três intervalos:
  1. x<tfrac13;
  2. tfrac13<= x<7;
  3. x>=7.

Passo 3

No intervalo x<tfrac13 temos x-7<0 e 3x-1<0, logo
|x-7|=7-x, |3x-1|=1-3x
Substituindo na equação:
(7-x)-(1-3x)=-x+3
7 - x -1 +3x = -x +3
6 +2x = -x +3
3x = -3 Longrightarrow x = -1
Como -1<tfrac13, aceitamo-lo neste caso.

Passo 4

No intervalo tfrac13<= x<7 temos x-7<0 e 3x-1>=0, logo
|x-7|=7-x, |3x-1|=3x-1
Substituindo:
(7-x)-(3x-1)=-x+3
7 - x -3x +1 = -x +3
8 -4x = -x +3
-3x = -5 Longrightarrow x = 53
Como tfrac53approx1,67 está em [tfrac13,7), aceitamo-lo.

Passo 5

No intervalo x>=7 temos x-7>=0 e 3x-1>=0, logo
|x-7|=x-7, |3x-1|=3x-1
Substituindo:
(x-7)-(3x-1)=-x+3
x -7 -3x +1 = -x +3
-2x -6 = -x +3
-x = 9 Longrightarrow x = -9,
que não satisfaz x>=7, logo é rejeitado.

Passo 6

As soluções que passaram no teste de intervalo são
x = -1 e x = 53

Resposta

As soluções da equação são x=-1 e x=53.

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