Exercício 9. Seja f: A B uma função. Mostre que
(a) X subseteq f^-1(f(X)) para todo X subseteq A. Além disso, a igualdade é verdadeira se, e somente se f é injetora.
(b) f(f^-1(Y)) subseteq Y para todo Y subseteq B. Além disso, a igualdade é verdadeira se, e somente se f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado trata de relações entre uma função fcolon Ato B, sua imagem direta de um subconjunto Xsubseteq A e sua imagem inversa de um subconjunto Ysubseteq B. Vamos usar as definições:
f(X)=,f(x)mid xin X.
f^-1(Y)=,xin Amid f(x)in Y.
Precisamos mostrar
1. Para todo Xsubseteq A vale Xsubseteq f^-1(f(X)), e X=f^-1(f(X)) se, e somente se, f é injetora.
2. Para todo Ysubseteq B vale f(f^-1(Y))subseteq Y, e f(f^-1(Y))=Y se, e somente se, f é sobrejetora.

Passo 2

Provar que Xsubseteq f^-1(f(X)). Seja xin X. Então f(x)in f(X) por definição de imagem direta. Logo, xin f^-1(f(X)) pelo critério de imagem inversa. Como isso vale para todo xin X, segue
Xsubseteq f^-1(f(X))

Passo 3

Caracterizar a igualdade em (a).
( Rightarrow) Suponha X=f^-1(f(X)) para todo Xsubseteq A. Para mostrar que f é injetora, tome x1,x2in A com f(x1)=f(x2). Considere X=x1. Então f(x2)=f(x1)in f(X), implicando x2in f^-1(f(X)). Como f^-1(f(X))=X=x1, temos x2=x1. Logo f é injetora.
( Leftarrow) Se f é injetora, já temos Xsubseteq f^-1(f(X)). Para a inclusão inversa, seja xin f^-1(f(X)). Então existe x0in X tal que f(x)=f(x0). Pela injetividade segue x=x0in X. Assim f^-1(f(X))subseteq X, e portanto
X=f^-1(f(X))

Passo 4

Provar que f(f^-1(Y))subseteq Y. Seja yin f(f^-1(Y)). Então existe xin f^-1(Y) com f(x)=y. Mas xin f^-1(Y) significa f(x)in Y. Logo yin Y. Como vale para todo yin f(f^-1(Y)), concluímos
f(f^-1(Y))subseteq Y

Passo 5

Caracterizar a igualdade em (b).
( Rightarrow) Suponha f(f^-1(Y))=Y para todo Ysubseteq B. Para mostrar que f é sobrejetora, escolha Y=B. Então
f(f^-1(B))=B
Mas f^-1(B)=A, de modo que f(A)=B, isto é, f é sobrejetora.
( Leftarrow) Se f é sobrejetora, então para todo yin Ysubseteq B existe xin A com f(x)=y, o que implica xin f^-1(Y) e portanto y=f(x)in f(f^-1(Y)). Assim Ysubseteq f(f^-1(Y)), e com a inclusão da Passo 4 obtemos
f(f^-1(Y))=Y

Resposta

(a) Para todo Xsubseteq A vale
Xsubseteq f^-1(f(X)),
e ocorre igualdade X=f^-1(f(X)) se, e somente se, f é injetora.
(b) Para todo Ysubseteq B vale
f(f^-1(Y))subseteq Y,
e ocorre igualdade f(f^-1(Y))=Y se, e somente se, f é sobrejetora.

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