Exercício 9. Seja
uma função. Mostre que
(a)
para todo
. Além disso, a igualdade é verdadeira se, e somente se
é injetora.
(b)
para todo
. Além disso, a igualdade é verdadeira se, e somente se
é sobrejetora.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trata de relações entre uma função
, sua imagem direta de um subconjunto
e sua imagem inversa de um subconjunto
. Vamos usar as definições:
– .
– .
Precisamos mostrar
. Para todo
vale
, e
se, e somente se,
é injetora.
. Para todo
vale
, e
se, e somente se,
é sobrejetora.
–
–
Precisamos mostrar
Passo 2
Provar que
. Seja
. Então
por definição de imagem direta. Logo,
pelo critério de imagem inversa. Como isso vale para todo
, segue
Passo 3
Caracterizar a igualdade em (a).
( ) Suponha
para todo
. Para mostrar que
é injetora, tome
com
. Considere
. Então
, implicando
. Como
, temos
. Logo
é injetora.
( ) Se
é injetora, já temos
. Para a inclusão inversa, seja
. Então existe
tal que
. Pela injetividade segue
. Assim
, e portanto
(
(
Passo 4
Provar que
. Seja
. Então existe
com
. Mas
significa
. Logo
. Como vale para todo
, concluímos
Passo 5
Caracterizar a igualdade em (b).
( ) Suponha
para todo
. Para mostrar que
é sobrejetora, escolha
. Então
(
Mas
, de modo que
, isto é,
é sobrejetora.
( ) Se
é sobrejetora, então para todo
existe
com
, o que implica
e portanto
. Assim
, e com a inclusão da Passo
obtemos
(
Resposta
(a) Para todo
vale
e ocorre igualdade
se, e somente se,
é injetora.
(b) Para todo vale
(b) Para todo
e ocorre igualdade
se, e somente se,
é sobrejetora.