Exercício 8. Seja
uma função bijetiva. Mostre que existe um única função
tal que
e
.
(Note que em aula, já mostramos a existência de
)
(Note que em aula, já mostramos a existência de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo
uma bijeção, existe uma e só uma função
que inverte
, isto é satisfaz
e
.
O conteúdo é a construção da função inversa de uma bijeção e a prova de sua unicidade.
O conteúdo é a construção da função inversa de uma bijeção e a prova de sua unicidade.
Passo 2
Como
é sobrejetiva, para cada
existe pelo menos um
com
. Como
é injetiva, esse
é único. Logo podemos definir
Assim
está bem-definida e, por construção, para todo
temos
ou seja
Além disso, para todo
, chamando
temos
, logo
Isso mostra a existência de
.
Passo 3
Para provar a unicidade, suponha que exista outra função
que também satisfaça
e
. Tomemos um elemento arbitrário
. Então
Como
é injetiva, disso segue
Como
era arbitrário,
como funções. Isso prova que não pode haver outra inversa além de
.
Resposta
A função inversa
existe e é única, satisfazendo
e
.