Exercício 8. Seja f: A B uma função bijetiva. Mostre que existe um única função g: B A tal que f circ g=idA e g circ f=idB.
(Note que em aula, já mostramos a existência de g )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo
fcolon Ato B
uma bijeção, existe uma e só uma função
gcolon Bto A
que inverte f, isto é satisfaz
g circ f = idA e f circ g = idB.
O conteúdo é a construção da função inversa de uma bijeção e a prova de sua unicidade.

Passo 2

Como f é sobrejetiva, para cada bin B existe pelo menos um ain A com f(a)=b. Como f é injetiva, esse a é único. Logo podemos definir
g(b)=o único ain A tal que f(a)=b ú
Assim g está bem-definida e, por construção, para todo bin B temos
fl(g(b)r)=b,
ou seja
fcirc g=idB
Além disso, para todo ain A, chamando b=f(a) temos g(f(a))=g(b)=a, logo
gcirc f=idA
Isso mostra a existência de g.

Passo 3

Para provar a unicidade, suponha que exista outra função
hcolon Bto A
que também satisfaça fcirc h=idB e hcirc f=idA. Tomemos um elemento arbitrário bin B. Então
fl(g(b)r)=b e fl(h(b)r)=b
Como f é injetiva, disso segue
g(b)=h(b)
Como b era arbitrário, g=h como funções. Isso prova que não pode haver outra inversa além de g.

Resposta

A função inversa g = f^-1 existe e é única, satisfazendo
g circ f = idA e f circ g = idB.

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