Exercício 5 Seja h(s, t)=s \ln (t)-t \ln (s). Calcule h(1, e), h(e, 1), h(e, e).Determine e esboce o domínio de h(s, t).

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
h(s,t)=s\ln(t)\;-\;t\ln(s)
e pede (1) os valores de h(1,e), h(e,1) e h(e,e), e (2) o domínio de h e seu esboço. Para resolver, usamos propriedades básicas do logaritmo natural, em particular \ln(1)=0 e \ln(e)=1, e lembramos que o argumento de \ln deve ser estritamente positivo.

Passo 2

Para calcular
h(1,e)=1\cdot\ln(e)\;-\;e\cdot\ln(1)
usamos \ln(e)=1 e \ln(1)=0. Logo,
h(1,e)=1\cdot1\;-\;e\cdot0=1.

Passo 3

Para calcular
h(e,1)=e\cdot\ln(1)\;-\;1\cdot\ln(e)
usamos \ln(1)=0 e \ln(e)=1. Logo,
h(e,1)=e\cdot0\;-\;1\cdot1=-1.

Passo 4

Para calcular
h(e,e)=e\cdot\ln(e)\;-\;e\cdot\ln(e)
notamos que cada termo é igual a e\cdot1. Portanto,
h(e,e)=e-e=0.

Passo 5

O domínio de h é o conjunto de todos os pares (s,t) em que ambos \ln(t) e \ln(s) estão definidos, isto é,
D=\{(s,t)\in\mathbb{R}^2\mid s>0,\;t>0\}.

Passo 6

O esboço de D no plano (s,t) é simplesmente o primeiro quadrante sem incluir os eixos.

Resposta

h(1,e)=1 h(e,1)=-1 h(e,e)=0
O domínio é \{(s,t)\mid s>0,\;t>0\}, representado pelo primeiro quadrante estrito no plano.

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