Exercício 7 Seja A in M2 times 2, com A^t=A, sendo lambda1=1 um autovalor e v=(1,3)^t o autovetor associado.
2. Se lambda2=9 é outro autovalor de A, determine um autovetor de A associado a lambda2.

Passo 1

O enunciado diz que Ain M2times2 é uma matriz simétrica ( A^t=A), com autovalores lambda1=1 e lambda2=9. Sabemos o autovetor associado a lambda1: v=(1,3)^t. Para encontrar um autovetor associado a lambda2, vamos usar a propriedade de que, em matrizes simétricas, autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.

Passo 2

Seja w=(x,y)^t um autovetor de A associado a lambda2=9. A ortogonalidade exige
vcdot w=0

Passo 3

Como v=(1,3)^t e w=(x,y)^t, o produto escalar é
1cdot x + 3cdot y = 0,
ou seja,
x + 3y = 0

Passo 4

Para obter um vetor não nulo que satisfaça x+3y=0, basta escolher, por exemplo, y=1. Então
x = -3,
e um autovetor associado a lambda2 é
w = (-3,1)^t

Resposta

Um autovetor de A associado a lambda2=9 é
(-3,1)^t

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