Seja
. Para
qualquer, ponhamos
para todo
. Prove:
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
e define, para qualquer
, o subespaço
Queremos provar que, para dois conjuntos
, vale
onde
O método é mostrar as duas inclusões:
-
. -
.
Passo 2
Prova de
.
Sejam e
. Então para todo
temos
Sejam
logo
Isto mostra
, e como
era um elemento genérico de
, segue
Passo 3
Prova de
Então, para todo . Além disso:
- Para
temos , logo . - Para
distinguimos - se
, então ; - se
, então (pois ).
Assimpara todo , isto é, .
- se
Portanto
, e como
era genérico em
, obtemos