Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, ponhamos N(X)=varphi in E ; varphi(x)=0 para todo x in X. Prove:
N(X cap Y)=N(X)+N(Y)

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial
E=F(R;R)
e define, para qualquer XsubsetR, o subespaço
N(X)=varphiin Emid varphi(x)=0 forall xin X
Queremos provar que, para dois conjuntos X,YsubsetR, vale
N(Xcap Y)=N(X)+N(Y),
onde
N(X)+N(Y)=phi+psimid phiin N(X), psiin N(Y)
O método é mostrar as duas inclusões:
  1. N(X)+N(Y)subset N(Xcap Y).
  2. N(Xcap Y)subset N(X)+N(Y).

Passo 2

Prova de N(X)+N(Y)subset N(Xcap Y).
Sejam phiin N(X) e psiin N(Y). Então para todo xin Xcap Y temos
phi(x)=0, psi(x)=0
logo
(phi+psi)(x)=phi(x)+psi(x)=0+0=0
Isto mostra phi+psiin N(Xcap Y), e como phi+psi era um elemento genérico de N(X)+N(Y), segue
N(X)+N(Y)subset N(Xcap Y)

Passo 3

Prova de
Então, para todo . Além disso:
  • Para temos , logo .
  • Para distinguimos
    1. se , então ;
    2. se , então (pois ).
      Assim para todo , isto é, .
Portanto , e como era genérico em , obtemos

Resposta

N(Xcap Y)=N(X)+N(Y)

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