O operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x ; y ; z)=(x-y+3 z ; y+2 z ;-3 z ) é invertível.

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3to R^3 por
T(x,y,z)=(,x - y + 3z,,,y + 2z,,,-3z,)
O conteúdo é transformações lineares em R^3. Vamos verificar se T é invertível (isto é, se é bijetora) e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa.

Passo 2

Para obter a matriz de T na base canônica, calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(-1,1,0), T(e3)=T(0,0,1)=(3,2,-3)
Logo a matriz é
A = [T] = 1 & -1 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & -3

Passo 3

Sendo A triangular superior,
det A = 1cdot 1cdot(-3) = -3 neq 0
Como o determinante é não-nulo, T é invertível.

Passo 4

Para achar
em função de ((u,v,w)].

Passo 5

Da terceira equação vem
z = -w3
Na segunda temos
y = v - 2z = v - 2l(-tfracw3r) = v + tfrac2w3
Na primeira,
x = u + y - 3z = u + l(v + tfrac2w3r) - 3l(-tfracw3r) = u + v + tfrac2w3 + w = u + v + tfrac5w3
Portanto
T^-1(u,v,w) =l(u+v+tfrac5w3,;v+tfrac2w3,;-tfracw3r)

Resposta

T é invertível e
T^-1(u,v,w) =l(u+v+tfrac5w3,;v+tfrac2w3,;-tfracw3r)

Exercícios relacionados