Seja Ttheta(x ; y)=(x cos theta-y sin theta ; x sin theta+y cos theta) a transformaçāo linear que rotaciona o vetor v=(x ; y) sob um ângulo theta no sentido anti-horário em relaçāo à origem. Utilize a informaçāo acima para obter todos os vértices do quadrado A B C D, sabendo que A(2 ;-2) e B(-3 ; 1) são vértices consecutivos.

Passo 1

O enunciado apresenta um quadrado ABCD no plano e dá dois vértices consecutivos A(2,-2) e B(-3,1). O conteúdo é geometria vetorial: para achar os vértices seguintes precisamos usar que os lados do quadrado têm mesmo comprimento e direções perpendiculares. A rotação de 90^circ no sentido anti-horário é dada por
Tpi/2(x,y) = (xcostfracpi2 - ysintfracpi2,;xsintfracpi2 + ycostfracpi2) = (-y,x)

Passo 2

Calculemos o vetor AB subtraindo as coordenadas de A de B:
AB = B - A = (-3,1) - (2,-2) = (-5,3)

Passo 3

O próximo lado BC é o vetor AB rotacionado em 90^circ anti-horário, isto é,
BC = Tpi/2(AB) = Tpi/2(-5,3) = (-3,-5)

Passo 4

Agora obtemos o vértice C somando BC a B:
C = B + BC = (-3,1) + (-3,-5) = (-6,-4)

Passo 5

Para achar D, rotacionamos BC mais uma vez em 90^circ e somamos a C:
CD = Tpi/2(BC) = Tpi/2(-3,-5) = (5,-3),
D = C + CD = (-6,-4) + (5,-3) = (-1,-7)

Resposta

A(2,-2), B(-3,1), C(-6,-4) e D(-1,-7).

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