Qual dos seguintes subconjuntos de
é um subespaço vetorial?
O conjunto união de duas retas distintas que passam pela origem.
O conjunto união de duas retas distintas que passam pela origem.
Passo 1
O enunciado nos pede para identificar, dentre quatro conjuntos em
, quais são subespaços vetoriais. Vamos usar o critério fundamental: um subconjunto
é subespaço vetorial se e só se
-
, -
, -
.
Passo 2
Analisamos o conjunto
. O vetor zero vale
, mas
logo
. Falhando a condição de conter o vetor zero,
não é subespaço.
Passo 3
Analisamos o conjunto
. Primeiro,
satisfaz
então
. Dados
e
em
, temos
logo
então
. Para
,
logo
. Assim,
satisfaz todas as condições e é subespaço vetorial.
Passo 4
Analisamos o conjunto
. O vetor zero não satisfaz
então
e
não é subespaço vetorial.
Passo 5
Analisamos a união de duas retas distintas que passam pela origem. Cada reta isoladamente é subespaço, mas a união de duas retas diferentes falha na adição: se
está na reta 1 e
está na reta 2, em geral
não pertence a nenhuma das duas retas. Portanto a união não é fechada sob soma e não é subespaço.
Resposta
O único subconjunto que é subespaço vetorial é