Qual dos seguintes subconjuntos de \mathbb{R}^{3} é um subespaço vetorial?
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z=1\right\}
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-2 y=0\right\}
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}
O conjunto união de duas retas distintas que passam pela origem.

Passo 1

O enunciado nos pede para identificar, dentre quatro conjuntos em \mathbb{R}^3, quais são subespaços vetoriais. Vamos usar o critério fundamental: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e só se
  1. \mathbf{0}=(0,0,0)\in W,
  2. u,v\in W\implies u+v\in W,
  3. \lambda\in\mathbb{R},\,u\in W\implies \lambda u\in W.

Passo 2

Analisamos o conjunto W_1=\{(x,y,z)\mid x+y+z=1\}. O vetor zero vale (0,0,0), mas
0+0+0=0\neq1,
logo \mathbf{0}\notin W_1. Falhando a condição de conter o vetor zero, W_1 não é subespaço.

Passo 3

Analisamos o conjunto W_2=\{(x,y,z)\mid x-2y=0\}. Primeiro, \mathbf{0}=(0,0,0) satisfaz
0-2\cdot0=0,
então \mathbf{0}\in W_2. Dados u=(x,y,z) e v=(x',y',z') em W_2, temos
(x-2y)=0,\quad(x'-2y')=0
logo
(u+v)_1-2(u+v)_2=(x+x')-2(y+y')=(x-2y)+(x'-2y')=0,
então u+v\in W_2. Para \lambda\in\mathbb{R},
(\lambda u)_1-2(\lambda u)_2=\lambda(x-2y)=\lambda\cdot0=0,
logo \lambda u\in W_2. Assim, W_2 satisfaz todas as condições e é subespaço vetorial.

Passo 4

Analisamos o conjunto W_3=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}. O vetor zero não satisfaz
0^2+0^2+0^2=0\neq1,
então \mathbf{0}\notin W_3 e W_3 não é subespaço vetorial.

Passo 5

Analisamos a união de duas retas distintas que passam pela origem. Cada reta isoladamente é subespaço, mas a união de duas retas diferentes falha na adição: se u está na reta 1 e v está na reta 2, em geral u+v não pertence a nenhuma das duas retas. Portanto a união não é fechada sob soma e não é subespaço.

Resposta

O único subconjunto que é subespaço vetorial é
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y=0\}.

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