Exercício 1: Seja V=[(2,1,1,0),(1,0,1,2),(0,-1,1,4)] \subset \mathbb{R}^{4} um subespaço vetorial. Determine uma base e dimensão para V.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço V\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
v_1=(2,1,1,0),\quad v_2=(1,0,1,2),\quad v_3=(0,-1,1,4),
e pede uma base e a dimensão de V. O conteúdo é posto (rank) de um sistema gerador e independência linear.

Passo 2

Colocamos v_1,v_2,v_3 como linhas de uma matriz e usamos operações elementares para achar o posto:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac12 R_1}\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 2\\\\ 0 & -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_2}\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Há dois pivôs, logo o posto é 2.

Passo 3

Como o posto do gerador é 2, concluímos que \dim(V)=2.

Passo 4

Para extrair uma base, tomamos os dois vetores correspondentes às linhas-pivô originais, que são v_1 e v_2. Eles são independentes e geram V.

Resposta

\dim(V)=2.
Uma base para V é \{(2,1,1,0),\,(1,0,1,2)\}.

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