Exercício 7. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto ( 0,0 ):
f(x, y)= x^2 y^3x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O exercício dá a função de duas variáveis
f(x,y)= x^2y^3x^2+y^4,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
Queremos verificar se ela é diferenciável em (0,0). Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais em (0,0), escrever a aproximação linear e checar se o erro é pequeno em ordem maior que a distância ao ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais em (0,0). Para fx(0,0) usamos
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
De modo análogo,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00-0k=0
Então as derivadas parciais existem e valem zero.

Passo 3

A aproximação linear de f em (0,0) é
L(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y=0
Para mostrar diferenciabilidade, basta provar que
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=f(x,y)raizx^2+y^2to0 \nquando (x,y)to(0,0).

Passo 4

Observamos que para (x,y)neq(0,0)
|f(x,y)|=|x^2y^3x^2+y^4|<=x^2|y|^3x^2=|y|^3
Como sempre |y|<=raizx^2+y^2, temos
|f(x,y)|raizx^2+y^2<=(raizx^2+y^2)^3raizx^2+y^2=(raizx^2+y^2)^2to0
Isso mostra que o erro da aproximação linear é de ordem o(raizx^2+y^2).

Passo 5

Portanto, a função satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

A função f é diferenciável no ponto (0,0).

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