Exercício 2: Seja
e
sua raiz no intervalo
. Tomando
, encontre
usando:
O método da Secante
O método da Secante
Passo 1
O enunciado dá a função
e diz que
é a raiz de
no intervalo
. Foi fornecido
e pede-se encontrar
com precisão
usando o método da Secante.
Informações importantes que temos:
Informações importantes que temos:
- A função é
. - Existe uma raiz
em . - Um palpite inicial é
. - Precisamos de uma aproximação
tal que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que . - O método pedido é a Secante, que precisa de dois aproximantes iniciais distintos.
Passo 2
O que é e como funciona o método da Secante (explicação didática):
- A ideia é aproximar a curva
por uma reta (secante) que passa por dois pontos e . A interseção dessa reta com o eixo dá a próxima aproximação . - A fórmula da Secante (derivada da equação da reta que passa por dois pontos) é:
- Interpretando a fórmula:
é o ponto onde a aproximação linear (secante) corta o eixo . Não precisa de derivada (ao contrário de Newton), apenas de valores de em dois pontos. - Critério de parada que usaremos: parar quando
com . Essa é uma escolha prática e comum em provas.
Passo 3
Escolha dos valores iniciais para aplicar a Secante:
- O enunciado deu
. Precisamos de um segundo ponto . Como a raiz está em , uma escolha natural e simples é (o extremo do intervalo). Assim temos dois pontos distintos e seguros dentro do intervalo onde está a raiz. - Portanto usaremos
e .
Passo 4
Calculemos
nos pontos iniciais (passo a passo das contas):
-
. - Para
:
Numericamente,
, logo
- Para
:
Passo 5
Primeira iteração: calcular
usando a fórmula da Secante com
e
. Mostrando cada termo:
Substituindo numericamente:
Calculemos os pedaços:
Então
Passo 6
Calcular
(detalhando como obter
e
):
-
. - Calcule
. Uma forma prática é aproveitar (cálculo via exponenciais conhecidos ou aproximação por série / calculadora). - Calcule
. Primeiro , então . - Logo
(Arredondei na apresentação; o valor aproximado é
.)
Passo 7
Segunda iteração: calcular
usando
e
:
Substituindo:
Calcule os pedaços:
Então
Passo 8
Calcular
:
-
. -
(usando aproximação exponencial). -
, então . - Assim
(Arredondei:
.)
Passo 9
Terceira iteração: calcular
usando
e
:
Substituindo numericamente:
Então
Passo 10
Calcular
:
-
. -
. -
, então . - Logo
Passo 11
Quarta iteração: calcular
usando
e
:
Substituindo numericamente:
O numerador
. Assim
Passo 12
Calcular
para ver o sinal e a proximidade:
-
. -
. -
, então . - Logo
Alternando os sinais vimos que a aproximação está muito próxima da raiz.
Passo 13
Quinta iteração e verificação do critério
:
- Calcule
usando e :
Numérico:
O numerador
. Assim
- Diferença entre iterações:
Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar
como aproximação da raiz com a precisão pedida.