Exercício 2: Seja f(x)=e^{x}-4 x^{2} e \xi sua raiz no intervalo [0,1]. Tomando x_{0}=0,5, encontre \xi \operatorname{com} \varepsilon=10^{-5} usando:
O método da Secante

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x}-4x^{2} e diz que \xi é a raiz de f no intervalo [0,1]. Foi fornecido x_{0}=0,5 e pede-se encontrar \xi com precisão \varepsilon=10^{-5} usando o método da Secante.
Informações importantes que temos:
  • A função é f(x)=e^{x}-4x^{2}.
  • Existe uma raiz \xi em [0,1].
  • Um palpite inicial é x_{0}=0,5.
  • Precisamos de uma aproximação \hat{\xi} tal que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que \varepsilon=10^{-5}.
  • O método pedido é a Secante, que precisa de dois aproximantes iniciais distintos.

Passo 2

O que é e como funciona o método da Secante (explicação didática):
  • A ideia é aproximar a curva y=f(x) por uma reta (secante) que passa por dois pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})). A interseção dessa reta com o eixo x dá a próxima aproximação x_{n+1}.
  • A fórmula da Secante (derivada da equação da reta que passa por dois pontos) é:
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • Interpretando a fórmula: x_{n+1} é o ponto onde a aproximação linear (secante) corta o eixo x. Não precisa de derivada (ao contrário de Newton), apenas de valores de f em dois pontos.
  • Critério de parada que usaremos: parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon com \varepsilon=10^{-5}. Essa é uma escolha prática e comum em provas.

Passo 3

Escolha dos valores iniciais para aplicar a Secante:
  • O enunciado deu x_{0}=0,5. Precisamos de um segundo ponto x_{1}. Como a raiz está em [0,1], uma escolha natural e simples é x_{1}=1 (o extremo do intervalo). Assim temos dois pontos distintos e seguros dentro do intervalo onde está a raiz.
  • Portanto usaremos x_{0}=0,5 e x_{1}=1.

Passo 4

Calculemos f nos pontos iniciais (passo a passo das contas):
  • f(x)=e^{x}-4x^{2}.
  • Para x_{0}=0,5:
f(x_{0})=e^{0,5}-4(0,5)^{2}=e^{0,5}-1.
Numericamente, e^{0,5}\approx 1,6487212707001282, logo
f(x_{0})\approx 1,6487212707001282-1=0,6487212707001282.
  • Para x_{1}=1:
f(x_{1})=e^{1}-4\cdot1^{2}=e-4\approx 2,718281828459045-4=-1,281718171540955.

Passo 5

Primeira iteração: calcular x_{2} usando a fórmula da Secante com x_{0} e x_{1}. Mostrando cada termo:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo numericamente:
x_{2}=1-(-1,281718171540955)\cdot\frac{1-0,5}{-1,281718171540955-0,6487212707001282}.
Calculemos os pedaços:
x_{1}-x_{0}=0,5,
f(x_{1})-f(x_{0})=-1,281718171540955-0,6487212707001282=-1,9304394422410832,
f(x_{1})\cdot(x_{1}-x_{0})=-1,281718171540955\cdot0,5=-0,6408590857704775.
Então
x_{2}=1-\frac{-0,6408590857704775}{-1,9304394422410832}=1-0,3321606221210871\approx 0,6678393778789129.

Passo 6

Calcular f(x_{2}) (detalhando como obter e^{x_{2}} e 4x_{2}^{2}):
  • x_{2}\approx 0,6678393778789129.
  • Calcule e^{x_{2}}. Uma forma prática é aproveitar e^{x_{2}}=e^{0,667839378}\approx 1,950025341586 (cálculo via exponenciais conhecidos ou aproximação por série / calculadora).
  • Calcule 4x_{2}^{2}. Primeiro x_{2}^{2}\approx 0,446009299, então 4x_{2}^{2}\approx 1,784037196.
  • Logo
f(x_{2})=e^{x_{2}}-4x_{2}^{2}\approx 1,950025341586-1,784037196\approx 0,165988145586.
(Arredondei na apresentação; o valor aproximado é f(x_{2})\approx 0,16598814.)

Passo 7

Segunda iteração: calcular x_{3} usando x_{1} e x_{2}:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo:
x_{3}\approx 0,6678393778789129-0,165988145586\cdot\frac{0,6678393778789129-1}{0,165988145586-(-1,281718171540955)}.
Calcule os pedaços:
x_{2}-x_{1}=-0,3321606221210871,
f(x_{2})-f(x_{1})=0,165988145586+1,281718171540955\approx 1,447706317126955.
Então
x_{3}\approx 0,6678393778789129-\frac{0,165988145586\cdot(-0,3321606221210871)}{1,447706317126955} \approx 0,6678393778789129+0,038096621\approx 0,705935998880.

Passo 8

Calcular f(x_{3}):
  • x_{3}\approx 0,705935998880.
  • e^{x_{3}}\approx 2,025740651 (usando aproximação exponencial).
  • x_{3}^{2}\approx 0,4983457, então 4x_{3}^{2}\approx 1,9933828.
  • Assim
f(x_{3})=e^{x_{3}}-4x_{3}^{2}\approx 2,025740651-1,9933828\approx 0,032357851.
(Arredondei: f(x_{3})\approx 0,032358.)

Passo 9

Terceira iteração: calcular x_{4} usando x_{2} e x_{3}:
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\cdot\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo numericamente:
x_{3}-x_{2}\approx 0,705935998880-0,6678393778789129\approx 0,0380966210010871,
f(x_{3})-f(x_{2})\approx 0,032357851-0,165988145586\approx -0,133630294586.
Então
x_{4}\approx 0,705935998880-\frac{0,032357851\cdot0,0380966210010871}{-0,133630294586} \approx 0,705935998880+0,009222563\approx 0,715158561880.

Passo 10

Calcular f(x_{4}):
  • x_{4}\approx 0,715158561880.
  • e^{x_{4}}\approx 2,044507.
  • x_{4}^{2}\approx 0,5114517, então 4x_{4}^{2}\approx 2,0458068.
  • Logo
f(x_{4})=e^{x_{4}}-4x_{4}^{2}\approx 2,044507-2,0458068\approx -0,0012998.

Passo 11

Quarta iteração: calcular x_{5} usando x_{3} e x_{4}:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\cdot\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Substituindo numericamente:
x_{4}-x_{3}\approx 0,009222563,
f(x_{4})-f(x_{3})\approx -0,0012998-0,032357851\approx -0,033657651.
O numerador f(x_{4})\cdot(x_{4}-x_{3})\approx -0,0012998\cdot0,009222563\approx -0,000011985. Assim
x_{5}\approx 0,715158561880-\frac{-0,000011985}{-0,033657651} \approx 0,715158561880-0,000355885\approx 0,714802676000.

Passo 12

Calcular f(x_{5}) para ver o sinal e a proximidade:
  • x_{5}\approx 0,714802676000.
  • e^{x_{5}}\approx 2,043780144.
  • x_{5}^{2}\approx 0,5109421, então 4x_{5}^{2}\approx 2,0437684.
  • Logo
f(x_{5})\approx 2,043780144-2,0437684\approx 0,0000117.
Alternando os sinais vimos que a aproximação está muito próxima da raiz.

Passo 13

Quinta iteração e verificação do critério |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon:
  • Calcule x_{6} usando x_{4} e x_{5}:
x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\cdot\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})}.
Numérico:
x_{5}-x_{4}\approx 0,714802676000-0,715158561880\approx -0,000355885880,
f(x_{5})-f(x_{4})\approx 0,0000117-(-0,0012998)\approx 0,0013115.
O numerador f(x_{5})\cdot(x_{5}-x_{4})\approx 0,0000117\cdot(-0,000355885880)\approx -4,16\times10^{-9}. Assim
x_{6}\approx 0,714802676000-\frac{-4{,}16\times10^{-9}}{0,0013115}\approx 0,714802676000+3{,}17\times10^{-6}\approx 0,714805843000.
  • Diferença entre iterações:
|x_{6}-x_{5}|\approx 3{,}17\times10^{-6}<\varepsilon=1\times10^{-5}.
Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar x_{6} como aproximação da raiz com a precisão pedida.

Resposta

\xi\approx 0,7148058

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