Exercício 4. Seja V=e, f, g, h o seguinte subconjunto do grupo S4 :
e=(llll1 & 2 & 3 & 4 1 & 2 & 3 & 4), f=(llll1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 4 & 3), g=(llll1 & 2 & 3 & 4 3 & 4 & 1 & 2) h=(llll1 & 2 & 3 & 4 4 & 3 & 2 & 1)
a) Prove que (V, circ) é um grupo onde o é a operação de composição de S4.
b) Prove que V é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
V=e,f,g,hsubset S4
com
e=1&2&3&41&2&3&4, f=1&2&3&42&1&4&3, g=1&2&3&43&4&1&2, h=1&2&3&44&3&2&1
Precisamos mostrar que (V,circ) é um grupo (parte (a)) e que é abeliano (parte (b)). Para isso usaremos a definição de subgrupo em que verificamos fechamento, identidade, inverso e associatividade herdada de S4, e em seguida checaremos a comutatividade.

Passo 2

Escrevendo as permutações em notação de ciclos duplos:
f=(1,2)(3,4), g=(1,3)(2,4), h=(1,4)(2,3)
Em S4 a composição é associativa automaticamente.

Passo 3

Mostramos que V é fechado sob composição computando as composições não-triviais:
fcirc g=(1,2)(3,4)circ(1,3)(2,4)=(1,4)(2,3)=h,
gcirc h=(1,3)(2,4)circ(1,4)(2,3)=(1,2)(3,4)=f,
hcirc f=(1,4)(2,3)circ(1,2)(3,4)=(1,3)(2,4)=g
Cada produto cai em V, e todos os outros casos são semelhantes ou triviais (por exemplo fcirc f=e, etc.).

Passo 4

Verificamos identidade e inversos:
  • A identidade e pertence a V.
  • Cada um dos elementos f,g,h é involutório, pois fcirc f=e, gcirc g=e, hcirc h=e, logo f^-1=f, g^-1=g, h^-1=h.

Passo 5

Pela associação herdada de S4, mais fechamento, existência de identidade e de inversos, concluímos que (V,circ) é um grupo de ordem 4, conhecido como o grupo de Klein.

Passo 6

Para ver que é abeliano, basta notar que nas composições já calculadas vale também, por simetria,
gcirc f=h, hcirc g=f, fcirc h=g
Ou seja, para quaisquer x,yinf,g,h temos xcirc y=ycirc x. Como e comuta trivialmente, toda a operação em V é comutativa.

Resposta

(a) (V,circ) é um grupo (subgrupo de S4), de ordem 4, com identidade e e inversos em V.
(b) Esse grupo é abeliano, pois todas as composições em V comutam.

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