Exercício 4. Seja o seguinte subconjunto do grupo :
a) Prove que (V, circ) é um grupo onde o é a operação de composição de S4.
b) Prove que V é um grupo abeliano.
Precisamos mostrar que (V,circ) é um grupo (parte (a)) e que é abeliano (parte (b)). Para isso usaremos a definição de subgrupo em que verificamos fechamento, identidade, inverso e associatividade herdada de S4, e em seguida checaremos a comutatividade.
Passo 2
Escrevendo as permutações em notação de ciclos duplos:
f=(1,2)(3,4), g=(1,3)(2,4), h=(1,4)(2,3)
Em S4 a composição é associativa automaticamente.
Passo 3
Mostramos que V é fechado sob composição computando as composições não-triviais:
fcirc g=(1,2)(3,4)circ(1,3)(2,4)=(1,4)(2,3)=h,
gcirc h=(1,3)(2,4)circ(1,4)(2,3)=(1,2)(3,4)=f,
hcirc f=(1,4)(2,3)circ(1,2)(3,4)=(1,3)(2,4)=g
Cada produto cai em V, e todos os outros casos são semelhantes ou triviais (por exemplo fcirc f=e, etc.).
Passo 4
Verificamos identidade e inversos:
A identidade e pertence a V.
Cada um dos elementos f,g,h é involutório, pois fcirc f=e, gcirc g=e, hcirc h=e, logo f^-1=f, g^-1=g, h^-1=h.
Passo 5
Pela associação herdada de S4, mais fechamento, existência de identidade e de inversos, concluímos que (V,circ) é um grupo de ordem 4, conhecido como o grupo de Klein.
Passo 6
Para ver que é abeliano, basta notar que nas composições já calculadas vale também, por simetria,
gcirc f=h, hcirc g=f, fcirc h=g
Ou seja, para quaisquer x,yinf,g,h temos xcirc y=ycirc x. Como e comuta trivialmente, toda a operação em V é comutativa.
Resposta
(a) (V,circ) é um grupo (subgrupo de S4), de ordem 4, com identidade e e inversos em V.
(b) Esse grupo é abeliano, pois todas as composições em V comutam.