Explique:
(a) O que há de errado com a equação a seguir?
x^2+6 x+8x+4=x+2
(b) Em vista de (a), por que a equação abaixo está correta?
lim x -4 x^2+6 x+8x+4=lim x -4(x+2)

Passo 1

O enunciado trata de dois pontos relacionados a funções e limites de expressões racionais. O conteúdo principal é domínio de definições, simplificação por cancelamento de fatores e conceito de limite para funções que coincidem em todo ponto, exceto no ponto de interesse. Vamos precisar: entender por que a identidade
x^2+6x+8x+4=x+2
falha em incluir o ponto x=-4, e por que, mesmo assim, podemos usar essa simplificação ao calcular
limxto-4x^2+6x+8x+4

Passo 2

Para (a), analisamos a expressão
x^2+6x+8x+4
Fatorando o numerador obtemos
x^2+6x+8 = (x+4)(x+2)
Logo, para todo xneq -4,
x^2+6x+8x+4 =(x+4)(x+2)x+4 =x+2
Porém essa simplificação exige que x+4neq 0, ou seja, xneq -4. Se alguém escrever
x^2+6x+8x+4=x+2
sem ressalvas, está afirmando que ambas as expressões coincidem até em x=-4, mas a expressão original não está definida em x=-4. Portanto o erro é ignorar que a divisão por zero em x=-4 torna a igualdade inválida nesse ponto.

Passo 3

Para (b), ao calcular
limxto-4x^2+6x+8x+4
nos importamos apenas no comportamento da função quando x se aproxima de -4, mas sem necessariamente avaliar o valor em x=-4. Como vimos, para todo xneq -4 vale
x^2+6x+8x+4=x+2
Então, numa vizinhança de -4 (exceto exatamente em -4), as duas funções são idênticas. Pelo princípio de limites de funções que coincidem num entorno, podemos escrever
limxto-4x^2+6x+8x+4 =limxto-4(x+2)
Aqui não pedimos o valor da função em -4, mas sim o limite, que existe e é bem definido.

Resposta

(a) A igualdade ignora que a expressão original não está definida em x=-4; o cancelamento só vale para xneq -4.
(b) A igualdade de limites é válida porque, para x próximo de -4 (mas diferente de -4), as duas expressões coincidem, e o limite só depende desse comportamento próximo, não do valor em -4.

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