Explique:
(a) O que há de errado com a equação a seguir?
(b) Em vista de (a), por que a equação abaixo está correta?
(a) O que há de errado com a equação a seguir?
Passo 1
O enunciado trata de dois pontos relacionados a funções e limites de expressões racionais. O conteúdo principal é domínio de definições, simplificação por cancelamento de fatores e conceito de limite para funções que coincidem em todo ponto, exceto no ponto de interesse. Vamos precisar: entender por que a identidade
falha em incluir o ponto
, e por que, mesmo assim, podemos usar essa simplificação ao calcular
Passo 2
Para (a), analisamos a expressão
Fatorando o numerador obtemos
Logo, para todo
,
Porém essa simplificação exige que
, ou seja,
. Se alguém escrever
sem ressalvas, está afirmando que ambas as expressões coincidem até em
, mas a expressão original não está definida em
. Portanto o erro é ignorar que a divisão por zero em
torna a igualdade inválida nesse ponto.
Passo 3
Para (b), ao calcular
nos importamos apenas no comportamento da função quando
se aproxima de
, mas sem necessariamente avaliar o valor em
. Como vimos, para todo
vale
Então, numa vizinhança de
(exceto exatamente em
), as duas funções são idênticas. Pelo princípio de limites de funções que coincidem num entorno, podemos escrever
Aqui não pedimos o valor da função em
, mas sim o limite, que existe e é bem definido.
Resposta
(a) A igualdade ignora que a expressão original não está definida em
; o cancelamento só vale para
.
(b) A igualdade de limites é válida porque, para próximo de
(mas diferente de
), as duas expressões coincidem, e o limite só depende desse comportamento próximo, não do valor em
.
(b) A igualdade de limites é válida porque, para