Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
x \frac{d y}{d x}+3\left(y+x^{2}\right)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
x\frac{dy}{dx}+3\bigl(y+x^{2}\bigr)=\frac{\sin x}{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A equação dada envolve y e sua derivada dy/dx.
  • A equação apresenta um ponto singular em x=0 (há divisões por x), portanto a solução geral será válida em intervalos onde x\neq0.
  • O objetivo é encontrar y(x) contendo a constante arbitrária que representa a família de soluções.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividindo tudo por x, válido para x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}\,y=\frac{\sin x}{x^{2}}-3x.
Aqui se isolou \dfrac{dy}{dx} e colocou a equação no formato y'+p(x)y=q(x).

Passo 3

Identificação das funções p(x) e q(x) do formato padrão:
p(x)=\frac{3}{x},\qquad q(x)=\frac{\sin x}{x^{2}}-3x.
Explicação rápida da ideia: para equações lineares de primeira ordem y'+p(x)y=q(x) usa-se um fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(\int p(x)\,dx\bigr) que transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3}{x}\,dx\right)=\exp\!\bigl(3\ln|x|\bigr)=|x|^{3}.
Como trabalhamos em intervalos onde x não muda de sinal, podemos escolher \mu(x)=x^{3} (para x>0 ou, com sinal ajustado, para x<0); o importante é \mu(x) ser proporcional a x^{3}.

Passo 5

Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{3}:
x^{3}\frac{dy}{dx}+3x^{2}y = x^{3}\!\left(\frac{\sin x}{x^{2}}-3x\right).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{3}y (isso vem da regra do produto):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}y\bigr)=x^{3}\frac{dy}{dx}+3x^{2}y.
O lado direito simplifica-se para
x^{3}\!\left(\frac{\sin x}{x^{2}}-3x\right)=x\sin x -3x^{4}.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}y\bigr)=x\sin x -3x^{4}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{3}y=\int\bigl(x\sin x -3x^{4}\bigr)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Vamos calcular as integrais separadamente.
  1. Calcular \displaystyle \int x\sin x\,dx por partes. Escolhendo u=x e dv=\sin x\,dx, obtém-se du=dx e v=-\cos x. Então
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.
  1. Calcular \displaystyle \int 3x^{4}\,dx:
\int 3x^{4}\,dx = 3\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{3}{5}x^{5}.
Portanto
x^{3}y = \bigl(-x\cos x + \sin x\bigr) - \frac{3}{5}x^{5} + C.

Passo 7

Isolar y dividindo por x^{3} (novamente válido para x\neq0):
y(x)=\frac{-x\cos x + \sin x}{x^{3}} - \frac{3}{5}\frac{x^{5}}{x^{3}} + C\frac{1}{x^{3}}.
Simplificando as potências de x:
y(x) = -\frac{\cos x}{x^{2}} + \frac{\sin x}{x^{3}} - \frac{3}{5}x^{2} + Cx^{-3}.

Passo 8

Interpretação final e domínio:
  • A solução geral é
y(x) = -\frac{\cos x}{x^{2}} + \frac{\sin x}{x^{3}} - \frac{3}{5}x^{2} + Cx^{-3},
onde C é uma constante arbitrária.
  • A solução é válida para x\neq0; para incluir x=0 seria necessário estudar a extensão limite da solução ao ponto 0, mas a equação original é singular em x=0.

Resposta

y(x) = -\frac{\cos x}{x^{2}} + \frac{\sin x}{x^{3}} - \frac{3}{5}x^{2} + Cx^{-3}

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