Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
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Passo 1
O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas:
- A equação dada envolve
e sua derivada . - A equação apresenta um ponto singular em
(há divisões por ), portanto a solução geral será válida em intervalos onde . - O objetivo é encontrar
contendo a constante arbitrária que representa a família de soluções.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividindo tudo por
, válido para
):
Aqui se isolou
e colocou a equação no formato
.
Passo 3
Identificação das funções
e
do formato padrão:
Explicação rápida da ideia: para equações lineares de primeira ordem
usa-se um fator integrante
que transforma o lado esquerdo na derivada do produto
.
Passo 4
Calcular o fator integrante
:
Como trabalhamos em intervalos onde
não muda de sinal, podemos escolher
(para
ou, com sinal ajustado, para
); o importante é
ser proporcional a
.
Passo 5
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
(isso vem da regra do produto):
O lado direito simplifica-se para
Logo a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Vamos calcular as integrais separadamente.
- Calcular
por partes. Escolhendo e , obtém-se e . Então
- Calcular
:
Portanto
Passo 7
Isolar
dividindo por
(novamente válido para
):
Simplificando as potências de
:
Passo 8
Interpretação final e domínio:
- A solução geral é
onde
é uma constante arbitrária.
- A solução é válida para
; para incluir seria necessário estudar a extensão limite da solução ao ponto , mas a equação original é singular em .