Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
\left(x^{2}+1\right) \frac{d y}{d x}+x y-x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\left(x^{2}+1\right)\frac{d y}{d x}+x y-x=0.
Informações dadas:
  • A equação é escrita explicitamente como acima.
  • Não há condições iniciais; então precisamos obter a solução geral com uma constante arbitrária.
    O que é pedido: encontrar y(x) em forma geral.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é \dfrac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x).
Dividindo toda a equação por \left(x^{2}+1\right) obtemos
\frac{d y}{d x}+\frac{x}{x^{2}+1}\,y=\frac{x}{x^{2}+1}.
Aqui:
  • \dfrac{d y}{d x} é a derivada de y em relação a x.
  • P(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • Q(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.

Passo 3

Explicando o método do fator integrante (integrating factor): para uma equação linear
\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação original por \mu(x) transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto \mu(x)y, isto é
\mu(x)\frac{d y}{d x}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{d x}\big(\mu(x)y\big).
Depois integra-se ambos os lados para resolver.

Passo 4

Calcular o fator integrante usando P(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
Primeiro a integral
\int P(x)\,dx=\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}+1 du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Então
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int \frac{1}{2}\,u^{-1}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+\text{const}.
Voltando a x,
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+1\big)+\text{const}.
Portanto o fator integrante, desprezando multiplicação por constante positiva (que não altera a solução), é
\mu(x)=\exp\!\left(\frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+1\big)\right).

Passo 5

Simplificar \mu(x). Usando propriedades do logaritmo e da exponencial:
\mu(x)=\big(x^{2}+1\big)^{1/2}=\sqrt{x^{2}+1}.
Esta é uma função positiva para todo x, adequada como fator integrante.

Passo 6

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=\sqrt{x^{2}+1}. Obtemos
\sqrt{x^{2}+1}\,\frac{d y}{d x}+\sqrt{x^{2}+1}\,\frac{x}{x^{2}+1}\,y=\sqrt{x^{2}+1}\,\frac{x}{x^{2}+1}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{d x}\big(\sqrt{x^{2}+1}\,y\big) por construção do fator integrante. Assim
\frac{d}{d x}\big(\sqrt{x^{2}+1}\,y\big)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 7

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{d x}\big(\sqrt{x^{2}+1}\,y\big)\,dx=\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para \sqrt{x^{2}+1}\,y. Para o lado direito, usar u=x^{2}+1 (igual ao passo anterior): du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{du}{2}. Então
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx=\int \frac{1}{2}u^{-1/2}\,du=\big(x^{2}+1\big)^{1/2}+C,
onde C é a constante de integração. Assim chegamos à relação
\sqrt{x^{2}+1}\,y=\sqrt{x^{2}+1}+C.

Passo 8

Isolar y a partir da relação encontrada no passo anterior (este será apresentado de forma compacta na seção de resposta). Lembre-se: a constante C é arbitrária e representa a família geral de soluções.

Resposta

y(x)=1+C\big(x^{2}+1\big)^{-1/2}

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