Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
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Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
Informações dadas:
- A equação é escrita explicitamente como acima.
- Não há condições iniciais; então precisamos obter a solução geral com uma constante arbitrária.
O que é pedido: encontrarem forma geral.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é
.
Dividindo toda a equação por obtemos
Dividindo toda a equação por
Aqui:
-
é a derivada de em relação a . -
. -
.
Passo 3
Explicando o método do fator integrante (integrating factor): para uma equação linear
o fator integrante
é definido por
Multiplicando a equação original por
transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto
, isto é
Depois integra-se ambos os lados para resolver.
Passo 4
Calcular o fator integrante usando
.
Primeiro a integral
Primeiro a integral
Fazendo a substituição
dá
, ou seja
. Então
Voltando a
,
Portanto o fator integrante, desprezando multiplicação por constante positiva (que não altera a solução), é
Passo 5
Simplificar
. Usando propriedades do logaritmo e da exponencial:
Esta é uma função positiva para todo
, adequada como fator integrante.
Passo 6
Multiplicar a equação padrão por
. Obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
por construção do fator integrante. Assim
Passo 7
Integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. Para o lado direito, usar
(igual ao passo anterior):
e
. Então
onde
é a constante de integração. Assim chegamos à relação
Passo 8
Isolar
a partir da relação encontrada no passo anterior (este será apresentado de forma compacta na seção de resposta). Lembre-se: a constante
é arbitrária e representa a família geral de soluções.