Questão 2 (30 pontos). Seja .
(a) Calcule det(A).
(b) Calcule det(A^4 cdot(A^-1)^T).
(c) Quantas soluções tem o sistema A cdot X=0, onde X=(cx y z w) é uma matriz 4 times 1 ?
e pede:
– (a) det(A).
– (b) detl(A^4,(A^-1)^Tr).
– (c) o número de soluções do sistema homogêneo A,X=0.
Vamos usar expansão por menores para (a), as propriedades det(A^k)=det(A)^k e detl((A^-1)^Tr)=det(A^-1)=tfrac1det(A) em (b), e o fato de que A é invertível se, e só se, det(A)neq0 em (c).]
Passo 2
Para calcular det(A) expandimos pela primeira linha. Como a11=0, só há termos em j=2,3,4:
det(A) = sumj=1^4a1j(-1)^1+jM1j = -,M12+M13-M14,
onde cada M1j é o menor obtido eliminando linha 1 e coluna j. 1. M12=det1&3&11&1&13&2&5 =1cdot(1cdot5-1cdot2)-3cdot(1cdot5-1cdot3)+1cdot(1cdot2-1cdot3) =3-6-1=-4 2. M13=det1&2&11&1&13&5&5 =1cdot(1cdot5-1cdot5)-2cdot(1cdot5-1cdot3)+1cdot(1cdot5-1cdot3) =0-4+2=-2 3. M14=det1&2&31&1&13&5&2 =1cdot(1cdot2-1cdot5)-2cdot(1cdot2-1cdot3)+3cdot(1cdot5-1cdot3) =-3+2+6=5
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