Questão 2 (30 pontos). Seja A=(llll0 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 1 1 & 1 & 1 & 1 3 & 5 & 2 & 5).
(a) Calcule det(A).
(b) Calcule det(A^4 cdot(A^-1)^T).
(c) Quantas soluções tem o sistema A cdot X=0, onde X=(cx y z w) é uma matriz 4 times 1 ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 1 & 1 & 1 [6pt] 1 & 2 & 3 & 1 [6pt] 1 & 1 & 1 & 1 [6pt] 3 & 5 & 2 & 5
e pede:
– (a) det(A).
– (b) detl(A^4,(A^-1)^Tr).
– (c) o número de soluções do sistema homogêneo A,X=0.
Vamos usar expansão por menores para (a), as propriedades
det(A^k)=det(A)^k e detl((A^-1)^Tr)=det(A^-1)=tfrac1det(A) em (b), e o fato de que A é invertível se, e só se, det(A)neq0 em (c).]

Passo 2

Para calcular det(A) expandimos pela primeira linha. Como a11=0, só há termos em j=2,3,4:
det(A) = sumj=1^4a1j(-1)^1+jM1j = -,M12+M13-M14,
onde cada M1j é o menor obtido eliminando linha 1 e coluna j.
1. M12=det1&3&11&1&13&2&5 =1cdot(1cdot5-1cdot2)-3cdot(1cdot5-1cdot3)+1cdot(1cdot2-1cdot3) =3-6-1=-4 2. M13=det1&2&11&1&13&5&5 =1cdot(1cdot5-1cdot5)-2cdot(1cdot5-1cdot3)+1cdot(1cdot5-1cdot3) =0-4+2=-2 3. M14=det1&2&31&1&13&5&2 =1cdot(1cdot2-1cdot5)-2cdot(1cdot2-1cdot3)+3cdot(1cdot5-1cdot3) =-3+2+6=5
Logo
det(A) = -(-4)+(-2)-5 =4-2-5 = -3

Passo 3

Para (b) usamos
detl(A^4(A^-1)^Tr) =det(A^4);detl((A^-1)^Tr) =l(det(A)r)^4!timesdfrac1det(A) =l(det(A)r)^3
Como det(A)=-3, tem-se
detl(A^4(A^-1)^Tr)=(-3)^3=-27

Passo 4

O sistema homogêneo A,X=0 tem solução única (a trivial X=0) se, e somente se, det(A)neq0. Aqui det(A)=-3neq0, logo existe exatamente uma solução.

Resposta

(a) det(A) = -3
(b) detl(A^4(A^-1)^Tr) = -27
(c) Há exatamente uma solução (a trivial X=0).

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