Exercício 6 Seja
e
. Considere
, com
, definamos as operações:
Nestas condições
é um espaço vetorial sobre
? Por quê?
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a soma componente a componente
e a multiplicação por escalar em
também componente a componente
A pergunta é: sob essas operações,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
? Vamos verificar.
Passo 2
Verificação de que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
e estão em , então - Associatividade e comutatividade da soma em
seguem diretamente da associatividade e comutatividade da soma em . - O elemento neutro é
pois . - O inverso aditivo de
é pois .
Passo 3
Verificação dos axiomas de multiplicação por escalar (todos para
e
):
- Distributividade escalar-soma de vetores:
- Distributividade soma de escalares-vetor:
- Compatibilidade produto de escalares:
- Unidade do corpo age como neutro:
Passo 4
Como já mostramos que (i)
é grupo abeliano, (ii) a multiplicação por escalar fecha em
e (iii) satisfaz as quatro propriedades acima, concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre o corpo
.
Resposta
Sim. Sob a soma e a multiplicação por escalar definidas componente a componente,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.