Exercício 6 Seja V=C^2=(z, w) mid z, w in C e F=C. Considere alpha in F, u, v in V, com u=(z1, w1), v=(z2, w2), definamos as operações:
u+v=(z1+z2, w1+w2) e alpha cdot u=(alpha z1, alpha w1)
Nestas condições V é um espaço vetorial sobre F ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = C^2 = (z,w)mid z,winC
com a soma componente a componente
(z1,w1)+(z2,w2)=(z1+z2,;w1+w2)
e a multiplicação por escalar em C também componente a componente
alphacdot(z1,w1) = (alpha z1,;alpha w1)
A pergunta é: sob essas operações, V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo C? Vamos verificar.

Passo 2

Verificação de que (V,+) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: se u=(z1,w1) e v=(z2,w2) estão em V, então u+v=(z1+z2,;w1+w2)inC^2=V
  2. Associatividade e comutatividade da soma em V seguem diretamente da associatividade e comutatividade da soma em C.
  3. O elemento neutro é 0V = (0,0), pois (z,w)+(0,0)=(z,w).
  4. O inverso aditivo de u=(z,w) é -u = (-z,-w), pois (z,w)+(-z,-w)=(0,0).

Passo 3

Verificação dos axiomas de multiplicação por escalar (todos para alpha,betainC e u,vin V):
  1. Distributividade escalar-soma de vetores: alphacdot(u+v) = alphacdot(z1+z2,;w1+w2) = (alpha(z1+z2),;alpha(w1+w2)) = (alpha z1+alpha z2,;alpha w1+alpha w2) = alpha u + alpha v
  2. Distributividade soma de escalares-vetor: (alpha+beta)cdot u = ((alpha+beta)z1,;(alpha+beta)w1) = (alpha z1+beta z1,;alpha w1+beta w1) = alpha u + beta u
  3. Compatibilidade produto de escalares: (alphabeta)cdot u = ((alphabeta)z1,;(alphabeta)w1) = alphacdot(beta z1,;beta w1) = alphacdot(beta u)
  4. Unidade do corpo age como neutro: 1cdot u = (1cdot z1,;1cdot w1) = (z1,w1) = u

Passo 4

Como já mostramos que (i) (V,+) é grupo abeliano, (ii) a multiplicação por escalar fecha em V e (iii) satisfaz as quatro propriedades acima, concluímos que V=C^2 é de fato um espaço vetorial sobre o corpo C.

Resposta

Sim. Sob a soma e a multiplicação por escalar definidas componente a componente, C^2 satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre C.

Exercícios relacionados