Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
e
forem matrizes quadradas de mesmo tamanho e
for invertível, então
Se
Passo 1
O enunciado pede para analisar se, para matrizes quadradas de mesma ordem com
invertível, vale
. O conteúdo-chave aqui é a propriedade multiplicativa do determinante e o valor do determinante da inversa.
Passo 2
Pela propriedade multiplicativa do determinante, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis, temos:
[ \det(A{-1}BA)=\det(A{-1}),\det(B A)=\det(A^{-1}),\det(B),\det(A). ]
[ \det(A{-1}BA)=\det(A{-1}),\det(B A)=\det(A^{-1}),\det(B),\det(A). ]
Passo 3
Sabemos também que, para matriz invertível
,
[ \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}. ]
[ \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}. ]
Passo 4
Substituindo na expressão do passo anterior, obtemos:
[ \det(A^{-1}BA)=\frac{1}{\det(A)},\det(B),\det(A)=\det(B). ]
[ \det(A^{-1}BA)=\frac{1}{\det(A)},\det(B),\det(A)=\det(B). ]
Resposta
Verdadeira.