Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Para cada matriz
de tamanho
, temos
Para cada matriz
Passo 1
O enunciado diz que, para toda matriz quadrada
de ordem
, vale
. O conteúdo aqui é a definição da matriz adjunta (adjugate) e a propriedade do determinante via cofactores, e vamos precisar usar a expansão de Laplace para chegar ao resultado.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de
: essa matriz é a transposta da matriz dos cofactores de
. Em símbolos, o elemento na linha
e coluna
de
é o cofator
, onde
e
é o menor de
obtido eliminando a linha
e a coluna
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto
. O elemento
de
é dado por
Passo 4
Passo 5
b_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} ,(\mathrm{adj}(A)){kj} = \sum{k=1}^n a_{ik} C_{jk}.
Passo 6
]
Passo 7
Mas a soma
é exatamente a expansão de Laplace de
ao longo da linha
se
, ou uma expansão de um determinante onde duas linhas coincidem (e portanto dá zero) se
. Logo,
Passo 8
Passo 9
b_{ij} = \begin{cases}
Passo 10
\det(A), &se i = j,\
Passo 11
0, &se i \neq j.
Passo 12
\end{cases}
Passo 13
]
Passo 14
ou seja,
.
Passo 15
Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro.