Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Para cada matriz A de tamanho n times n, temos
A cdot adj(A)=(det(A)) In

Passo 1

O enunciado diz que, para toda matriz quadrada A de ordem n, vale A cdot adj(A) = (det(A)) In. O conteúdo aqui é a definição da matriz adjunta (adjugate) e a propriedade do determinante via cofactores, e vamos precisar usar a expansão de Laplace para chegar ao resultado.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de adj(A): essa matriz é a transposta da matriz dos cofactores de A. Em símbolos, o elemento na linha i e coluna j de adj(A) é o cofator Cji, onde Cji = (-1)^j+i Mji e Mji é o menor de A obtido eliminando a linha j e a coluna i.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto B = A cdot adj(A). O elemento bij de B é dado por

Passo 4

Passo 5

b_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} ,(\mathrm{adj}(A)){kj} = \sum{k=1}^n a_{ik} C_{jk}.

Passo 6

]

Passo 7

Mas a soma sumk=1^n aik Cjk é exatamente a expansão de Laplace de det(A) ao longo da linha i se i=j, ou uma expansão de um determinante onde duas linhas coincidem (e portanto dá zero) se i neq j. Logo,

Passo 8

Passo 9

b_{ij} = \begin{cases}

Passo 10

\det(A), &se i = j,\

Passo 11

0, &se i \neq j.

Passo 12

\end{cases}

Passo 13

]

Passo 14

ou seja, B = (det(A)) In.

Passo 15

Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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