Seja n >= 2 um inteiro e considere os seguintes subconjuntos de R^n :
l S1=(x1, ldots, xn) in R^n: x1+2 x2+cdots+n xn=0, S2=(x1, ldots, xn) in R^n: x1^2+cdots+xn^2=0, S3=(x1, ldots, xn) in R^n: x1 >= 0, ldots, xn >= 0, S4=(x1, ldots, xn) in R^n: x2^2+cdots+xn^2=0
São subespaços de R^n, apenas,
(A) S1, S2 e S3.
(B) S2 e S4.
(C) S1, S2 e S4.
(D) S1 e S2.
(E) S1 e S4.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos
S1=xinR^n:x1+2x2+cdots+nxn=0, S2=xinR^n:x1^2+cdots+xn^2=0,
S3=xinR^n:x1>=0,dots,xn>=0, S4=xinR^n:x2^2+cdots+xn^2=0
são subespaços de R^n. Para cada um vamos verificar se contém o vetor zero, se é fechado sobre soma e sobre multiplicação por escalar.

Passo 2

Analisando S1:
A condição x1+2x2+cdots+nxn=0 é uma equação linear homogênea.
  1. O vetor zero satisfaz 0+2cdot0+cdots+ncdot0=0, logo 0in S1.
  2. Soma de duas soluções continua a satisfazer a mesma equação linear.
  3. Multiplicação por escalar também preserva a igualdade homogênea.
    Portanto S1 é subespaço (é o núcleo de um funcional linear).

Passo 3

Analisando S2:
A condição x1^2+cdots+xn^2=0 implica x1=cdots=xn=0.
Logo
S2=(0,dots,0)
que é o subespaço trivial 0. Verifica fechamento e contém o zero trivialmente.

Passo 4

Analisando S3:
Aqui todo vetor tem coordenadas não negativas.
  1. O vetor zero está em S3.
  2. Porém, se vin S3 tem coordenadas positivas e tomamos lambda=-1, então lambda v tem coordenadas negativas, não pertencendo a S3.
    Logo S3 não é fechado sob multiplicação por escalar e não é subespaço.

Passo 5

Analisando S4:
A condição x2^2+cdots+xn^2=0 força x2=cdots=xn=0, mas x1 é livre.
Assim
S4=(x1,0,dots,0)mid x1inR,
que é uma reta através da origem, claramente fechada sob soma e escalar. Logo S4 é subespaço.

Resposta

A única alternativa que lista exatamente os subespaços S1,S2 e S4 é a (C).

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