Seja
um inteiro e considere os seguintes subconjuntos de
:
São subespaços de
, apenas,
(A)
e
.
(B)
e
.
(C)
e
.
(D)
e
.
(E)
e
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos
são subespaços de
. Para cada um vamos verificar se contém o vetor zero, se é fechado sobre soma e sobre multiplicação por escalar.
Passo 2
Analisando
:
A condição é uma equação linear homogênea.
A condição
- O vetor zero satisfaz
, logo . - Soma de duas soluções continua a satisfazer a mesma equação linear.
- Multiplicação por escalar também preserva a igualdade homogênea.
Portantoé subespaço (é o núcleo de um funcional linear).
Passo 3
Analisando
:
A condição implica
.
Logo
A condição
Logo
que é o subespaço trivial
. Verifica fechamento e contém o zero trivialmente.
Passo 4
Analisando
:
Aqui todo vetor tem coordenadas não negativas.
Aqui todo vetor tem coordenadas não negativas.
- O vetor zero está em
. - Porém, se
tem coordenadas positivas e tomamos , então tem coordenadas negativas, não pertencendo a .
Logonão é fechado sob multiplicação por escalar e não é subespaço.
Passo 5
Analisando
:
A condição força
, mas
é livre.
Assim
A condição
Assim
que é uma reta através da origem, claramente fechada sob soma e escalar. Logo
é subespaço.
Resposta
A única alternativa que lista exatamente os subespaços
e
é a (C).