Exercício 4. Seja o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem , munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real (V,+, cdot) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
(a) W=A in V; A é matriz invertível .
(b) W=A in V; A é matriz não invertível .
(c) W=A ; A B=B A, para uma matriz B in V fixada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar alguns subconjuntos W do espaço vetorial V das matrizes quadradas de ordem n com entradas reais. Nosso objetivo é descobrir quais desses subconjuntos são, de fato, subespaços vetoriais de V . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três propriedades básicas:
Contém o vetor zero: No nosso caso, isso significa que a matriz nula (toda entrada igual a zero) deve estar em W .
Fechado sob a adição: Se você pegar duas matrizes quaisquer A e B em W , a soma A + B também deve estar em W .
Fechado sob a multiplicação por escalar: Se você pegar uma matriz A em W e um número real c , o produto cA também deve estar em W .
Se um subconjunto satisfaz essas três propriedades, ele é um subespaço vetorial.
Passo 3
Vamos analisar cada parte do exercício separadamente:
(a) W = A in V ;|; A é matriz invertível éí
Contém o vetor zero? Não, a matriz nula não é invertível.
Já que não contém o vetor zero, W não é um subespaço vetorial.
(b) W = A in V ;|; A é matriz não invertível éãí
Contém o vetor zero? Sim, a matriz nula não é invertível.
Fechado sob a adição? Não necessariamente. Por exemplo, se você somar duas matrizes não invertíveis, o resultado pode ser invertível.
Como não é fechado sob a adição, W não é um subespaço vetorial.
(c) W = A in V ;|; AB = BA , para uma matriz B in V fixa
Contém o vetor zero? Sim, a matriz nula comuta com qualquer matriz B .
Fechado sob a adição? Se A e C comutam com B , então (A + C)B = AB + CB = BA + BC = B(A + C) , então A + C também comuta com B .
Fechado sob a multiplicação por escalar? Se A comuta com B , então (cA)B = c(AB) = c(BA) = B(cA) , então cA também comuta com B .
Todas as propriedades são satisfeitas, então W é um subespaço vetorial.
Resposta
Apenas o subconjunto (c) é um subespaço vetorial de V .