Questão-4. Considere o espaço vetorial V=M2 times 2(R) munido do produto interno definido por lang<= u, vrang<==traço(u^T v)̧. (O traço de uma matriz é a soma de sua diagonal principal).
Sejam v1=(cc1 & -1 0 & 2) e v2=(cc-2 & 0 1 & 1) vetores de V.
a) Encontre o ângulo entre os vetores v1 e v2.
b) Determine a distância do vetor v3=(cc2 & 1 -1 & 3) até o subespaço vetorial S=[v1, v2].

Passo 1

Resumo do enunciado: Trabalhamos no espaço vetorial V = M_{2\times2}(ℝ) com produto interno definido por ⟨u,v⟩ = tr(u^T v). Dados os vetores v1, v2 e v3 do enunciado, queremos a) o ângulo entre v1 e v2; b) a distância de v3 ao subespaço S=spanv1,v2. Para isso, usaremos as fórmulas de norma |v|=raiz⟨v,v⟩, cosseno do ângulo cosθ=⟨v1,v2⟩|v1|,|v2| e projeção ortogonal em base ortogonal.

Passo 2

Para a parte (a), calculamos o produto interno
v1^T = 1&0-1&2, v1^T v2=-2&04&2,cujo traço é
⟨v1,v2⟩=tr(v1^T v2)=(-2)+2=0
Como isso implica
cosθ=0/(|v1|,|v2|)=0,segue-se que θ=π2 (vetores ortogonais).

Passo 3

Na parte (b), observamos que v1 e v2 são ortogonais, logo formam uma base ortogonal de S. Para projetar v3 em S, calculamos os coeficientes
α=⟨v3,v1⟩|v1|^2, β=⟨v3,v2⟩|v2|^2

Passo 4

Calculamos
⟨v3,v1⟩=7, |v1|^2=6 Rightarrow α=76,
⟨v3,v2⟩=-2, |v2|^2=6 Rightarrow β=-13

Passo 5

A projeção de v3 em S é
p=αv1+βv2=11/6 & -7/6 -1/3 & 2
O vetor residual é
r=v3-p=1/6 & 13/6 -2/3 & 1

Passo 6

Finalmente, a distância é a norma de r:
d=|r|=raiztr(r^T r)=raiz376

Resposta

a) θ=π2. b) d=raiztfrac376.

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