Questão-4. Considere o espaço vetorial munido do produto interno definido por . (O traço de uma matriz é a soma de sua diagonal principal).
Sejam e v2=(cc-2 & 0 1 & 1) vetores de V.
a) Encontre o ângulo entre os vetores v1 e v2.
b) Determine a distância do vetor v3=(cc2 & 1 -1 & 3) até o subespaço vetorial S=[v1, v2].
Passo 1
Resumo do enunciado: Trabalhamos no espaço vetorial V = M_{2\times2}(ℝ) com produto interno definido por ⟨u,v⟩ = tr(u^T v). Dados os vetores v1, v2 e v3 do enunciado, queremos a) o ângulo entre v1 e v2; b) a distância de v3 ao subespaço S=spanv1,v2. Para isso, usaremos as fórmulas de norma |v|=raiz⟨v,v⟩, cosseno do ângulo cosθ=⟨v1,v2⟩|v1|,|v2| e projeção ortogonal em base ortogonal.
Passo 2
Para a parte (a), calculamos o produto interno
v1^T = 1&0-1&2, v1^T v2=-2&04&2,cujo traço é
⟨v1,v2⟩=tr(v1^T v2)=(-2)+2=0
Como isso implica
cosθ=0/(|v1|,|v2|)=0,segue-se que θ=π2 (vetores ortogonais).
Passo 3
Na parte (b), observamos que v1 e v2 são ortogonais, logo formam uma base ortogonal de S. Para projetar v3 em S, calculamos os coeficientes