Questão-1. Considere os seguintes subespaços vetoriais
e
de
:
. Determine:
a)
e sua dimensão.’
b)
e sua dimensão.
c)
é soma direta? Justifique.
a)
b)
c)
Passo 1
A questão pede para determinar o subespaço
e sua dimensão, o subespaço
e sua dimensão, e ainda verificar se
é soma direta. O conteúdo envolve definição e parametrização de subespaços, cálculo de interseção, aplicação da fórmula de dimensão (fórmula de Grassmann) e definição de soma direta de subespaços.
Passo 2
Para entender melhor
e
, escrevemos cada um em forma paramétrica e identificamos bases:
Podemos escrever
Uma base de
é
, logo
.
Para
, a condição
dá
com base
e
.
Passo 3
Para achar
, impomos simultaneamente
e
. Assim
Logo
é uma reta gerada por
e
.
Passo 4
Usando a fórmula de Grassmann:
Além disso, vemos que os vetores
estão em
, portanto
Passo 5
Uma soma
é direta se e somente se
. Aqui
tem dimensão 1 e contém vetores não nulos, então
não é soma direta.
Resposta
a)
,
. b)
,
. c) Não é soma direta, pois
.