Questão-1. Considere os seguintes subespaços vetoriais U e V de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 / x+y=0 e, V=(x, y, z) in R^3 / z=0. Determine:
a) U+V e sua dimensão.’
b) U cap V e sua dimensão.
c) U+V é soma direta? Justifique.

Passo 1

A questão pede para determinar o subespaço U+V e sua dimensão, o subespaço Ucap V e sua dimensão, e ainda verificar se U+V é soma direta. O conteúdo envolve definição e parametrização de subespaços, cálculo de interseção, aplicação da fórmula de dimensão (fórmula de Grassmann) e definição de soma direta de subespaços.

Passo 2

Para entender melhor U e V, escrevemos cada um em forma paramétrica e identificamos bases:
U=(x,y,z)inR^3mid x+y=0implies y=-x
Podemos escrever
U=;x(1,-1,0)+z(0,0,1)mid x,zinR,
Uma base de U é (1,-1,0),(0,0,1), logo dim(U)=2.
Para V, a condição z=0
V=;x'(1,0,0)+y'(0,1,0)mid x',y'inR,
com base (1,0,0),(0,1,0) e dim(V)=2.

Passo 3

Para achar Ucap V, impomos simultaneamente x+y=0 e z=0. Assim
Ucap V=(x,y,0)mid y=-x=;t(1,-1,0)mid tinR
Logo Ucap V é uma reta gerada por (1,-1,0) e dim(Ucap V)=1.

Passo 4

Usando a fórmula de Grassmann:
dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(Ucap V)=2+2-1=3
Além disso, vemos que os vetores (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) estão em U+V, portanto
U+V=R^3

Passo 5

Uma soma U+V é direta se e somente se Ucap V=0. Aqui Ucap V tem dimensão 1 e contém vetores não nulos, então U+V não é soma direta.

Resposta

a) U+V=R^3, dim(U+V)=3. b) Ucap V=,t(1,-1,0)mid tinR, dim(Ucap V)=1. c) Não é soma direta, pois Ucap Vneq0,.

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