Verifique se os conjuntos abaixo são linearmente dependente ou linearmente independentes:
A=(ll-1 & 2 -3 & 1),(cc2 & -3 3 & 0),(cc3 & -4 3 & 1);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de matrizes A = { M1=-1 & 2 -3 & 1, M2=2 & -3 3 & 0, M3=3 & -4 3 & 1} é linearmente independente ou dependente. O conteúdo envolve independência linear no espaço das matrizes 2×2 e vamos usar combinações lineares e resolver um sistema homogêneo.

Passo 2

Assumimos que existam escalares a,b,c tais que

Passo 3

a-1 & 2 -3 & 1 + b2 & -3 3 & 0 + c3 & -4 3 & 1 = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Igualando cada entrada à zero, obtemos o sistema

Passo 5

-a + 2b + 3c = 0 2a - 3b - 4c = 0 -3a + 3b + 3c = 0 a + c = 0

Passo 6

Da última equação temos c = -a. Substituindo em -a + 2b + 3c = 0 resulta 2b - 4a = 0, ou seja b = 2a. As outras equações ficam automaticamente satisfeitas, mostrando que (a,b,c) = (a,2a,-a) é solução.

Passo 7

Como existem soluções não-triviais (por exemplo a=1, b=2, c=-1), concluímos que as matrizes são linearmente dependentes. Por exemplo,

Passo 8

M1 + 2M2 - M3 = 0

Resposta

O conjunto A é linearmente dependente.

Exercícios relacionados