Questão-6. Seja o espaço vetorial
com o produto interno usual e o subespaço vetorial
. Determine:
a) Uma base ortogonal para
b) O complemento ortogonal de
a) Uma base ortogonal para
b) O complemento ortogonal de
Passo 1
Temos o espaço vetorial V = M₂(ℝ) com o produto interno usual dado por
. O subespaço H é formado pelas matrizes da forma
com
. Para (a) vamos achar uma base ortogonal de H usando Gram–Schmidt a partir de uma base natural; para (b) vamos determinar H^⊥ resolvendo
∀
.
Passo 2
Parametrizamos H por
, onde
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt: definimos
e
Passo 4
Para
removemos projeções de
:
Passo 5
Escalando para eliminar frações podemos tomar a base ortogonal
Passo 6
Para achar H^⊥, seja e imponha
para todo
. Isso leva ao sistema
Logo,
H^⊥=\mathrm{span}\left{ \right}.
H^⊥=\mathrm{span}\left{
Resposta
a) Uma base ortogonal de H é
b) O complemento ortogonal é