Questão-6. Seja o espaço vetorial V=M2(R) com o produto interno usual e o subespaço vetorial H=[cca & a+b b+c & c] ; a, b, c in R subset M2(R). Determine:
a) Uma base ortogonal para H
b) O complemento ortogonal de H

Passo 1

Temos o espaço vetorial V = M₂(ℝ) com o produto interno usual dado por ⟨A,B⟩ = Tr(A^T B). O subespaço H é formado pelas matrizes da forma M(a,b,c)=a & a+b b+c & c,com a,b,c∈ℝ. Para (a) vamos achar uma base ortogonal de H usando Gram–Schmidt a partir de uma base natural; para (b) vamos determinar H^⊥ resolvendo ⟨X,M(a,b,c)⟩=0 a,b,c.

Passo 2

Parametrizamos H por M(a,b,c)=aA1 + bA2 + cA3, onde
A1=1&10&0, A2=0&11&0, A3=0&01&1

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt: definimos u1=A1 e
u2 = A2 - ⟨A2,u1⟩⟨u1,u1⟩,u1 = A2 - tfrac12A1 = -tfrac12&tfrac121&0,que satisfaz ⟨u2,u1⟩=0.

Passo 4

Para u3 removemos projeções de A3:
u3 = A3 - ⟨A3,u1⟩⟨u1,u1⟩u1 - ⟨A3,u2⟩⟨u2,u2⟩u2 = A3 - tfrac23,u2 = tfrac13&-tfrac13tfrac13&1,e verifica-se ⟨u3,u1⟩=0 e ⟨u3,u2⟩=0.

Passo 5

Escalando para eliminar frações podemos tomar a base ortogonal
B=1&10&0,;-1&12&0,;1&-11&3de H.

Passo 6

Para achar H^⊥, seja e imponha para todo . Isso leva ao sistema
cuja solução geral é .
Logo,
H^⊥=\mathrm{span}\left{ \right}.

Resposta

a) Uma base ortogonal de H é
1&10&0, ;-1&12&0, ;1&-11&3
b) O complemento ortogonal é
H^perp=spanl-1&1-1&1r

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