Função de probabilidade. Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições. \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1.
Passo 1
O enunciado diz que uma função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória contínua X se satisfaz a condição
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
O que vamos fazer: esclarecer completamente o que é uma f.d.p., listar todas as condições necessárias (porque a igualdade acima sozinha não é a única), mostrar consequências importantes que caem em prova (como como calcular probabilidades, a função distribuição acumulada, esperança e variância), e resolver exemplos passo a passo para você saber o que fazer na hora da prova. Nada será dado como óbvio — vou explicar cada fórmula e cada passo.
Passo 2
Condição fundamental e por quê. Além da normalização já dada, uma f.d.p. precisa satisfazer a condição de não negatividade:
f(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Por que? Probabilidades não podem ser negativas. A integral \int_{A} f(x)\,dx representa a probabilidade de que X caia no conjunto A. Se f tivesse regiões negativas, a “probabilidade” de algum conjunto poderia virar negativa ou a integral total não faria sentido como 1. Portanto as duas condições que definem uma f.d.p. são:
Probabilidades de intervalos — a regra prática que você usa na prova. Se X tem f.d.p. f, então a probabilidade de X cair no intervalo [a,b] é a área sob f entre a e b:
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Observações úteis para prova:
Para variáveis contínuas, os eventos com um ponto isolado têm probabilidade zero, isto é
P(X=c)=\int_{c}^{c} f(x)\,dx = 0.
Portanto P(a<X\le b)=P(a\le X\le b)=P(a<X<b) — os parênteses nos extremos não importam.
No cálculo, use primitivação (anti-derivada) ou mudança de variável quando aparecer exponencial, potência, ou substituição trigonométrica.
Passo 4
Função distribuição acumulada (CDF) e relação com f. A CDF é definida por
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Propriedades importantes que valem em prova:
F é não decrescente.
\displaystyle \lim_{x\to -\infty} F(x)=0 e \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x)=1.
Se f for contínua em x, então F é diferenciável em x e F'(x)=f(x). Em palavras: f é a derivada da CDF.
Passo 5
Esperança (valor esperado) — significado e fórmula. A esperança é a média ponderada dos valores que X\) pode assumir, com pesos dados por a densidade:
\[\mu = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Cada símbolo:
E[X] é a esperança de X.
x dentro da integral é a variável de integração (o valor que X pode assumir).
f(x) pesa quanto “importância” cada x tem.
Exemplo concreto e resolvido (uniforme no intervalo [a,b]). Primeiro o pdf do uniforme:
Calcular (E[X]]: E[X]=\int_{a}^{b} x\cdot \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{a}^{b} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\right) = \frac{a+b}{2}.
Resultado intuitivo: a média do uniforme é o ponto médio do intervalo.]
Passo 6
Variância — definição e cálculo prático. A variância mede a dispersão em torno da média:
Esse é um resultado padrão que vale sempre para o uniforme.
Passo 7
Como normalizar uma função (técnica muito usada em prova). Às vezes aparece uma função g(x)\ge 0 e o enunciado pede para transformá‑la em uma f.d.p. f(x)=c\cdot g(x). Deve-se escolher c tal que \int f =1. Assim
que é a f.d.p. da distribuição exponencial. Esse procedimento (calcular a integral e inverter) é padrão.]
Passo 8
Exemplo extra passo a passo (triangular simples) — prática para prova. Considere a função candidata f(x)=c(1-x) para 0\le x\le 1, zero fora. Primeiro encontre c:
Pronto — esta é a forma de trabalhar com funções polinomiais em exames.
Passo 9
Transformações de variáveis (útil em provas quando pedem pdf de Y=g(X)). Se g é bijetora e diferenciável, e h=g^{-1}, então
f_{Y}(y)=f_{X}\big(h(y)\big)\cdot\big|h'(y)\big|.
Explicação curta: a probabilidade em pequenos intervalos conserva a massa, e o fator |h'(y)| corrige pela distorção na escala. Caso comum e muito usado: Y=aX+b com a\neq 0. Então h(y)=(y-b)/a e |h'(y)|=\tfrac{1}{|a|}. Assim
Exemplo rápido: se X é uniforme em [0,1] e Y=2X+3, então Y é uniforme em [3,5] com densidade f_{Y}(y)=\tfrac{1}{2} para y\in[3,5].
Passo 10
Dicas práticas e checklist para resolver questões de pdf na prova (resuma isto mentalmente antes de começar cada exercício):
Verificar suporte: identificar em quais x a função é não nula.
Verificar não negatividade em todo o suporte.
Normalizar: calcular a constante multiplicativa se necessário usando uma integral simples.
Calcular probabilidades por integração direta sobre os limites do suporte que interessam.
Para esperança/variância, usar E[X]=\int x f(x)\,dx e \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}.
Para transformações, lembrar da fórmula com |h'(y)| e checar monotonicidade.
Se tiver dúvida, faça desenho rápido da densidade para visualizar áreas (serve bastante para evitar erros).
Resposta
f(x) é f.d.p. se e somente se\;\,f(x)\ge 0\\ \forall x e \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.\nP(a\le X\le b)=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx.\nF(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt e F'(x)=f(x) quando f é contínua.\nE[X]=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,\quad \operatorname{Var}(X)=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^{2}f(x)\,dx=E[X^{2}]-(E[X])^{2}.\nSe Y=g(X) com g bijetora e h=g^{-1}, então f_{Y}(y)=f_{X}(h(y))\cdot|h'(y)|.