Função de probabilidade. Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições.
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1.

Passo 1

O enunciado diz que uma função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória contínua X se satisfaz a condição
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
O que vamos fazer: esclarecer completamente o que é uma f.d.p., listar todas as condições necessárias (porque a igualdade acima sozinha não é a única), mostrar consequências importantes que caem em prova (como como calcular probabilidades, a função distribuição acumulada, esperança e variância), e resolver exemplos passo a passo para você saber o que fazer na hora da prova. Nada será dado como óbvio — vou explicar cada fórmula e cada passo.

Passo 2

Condição fundamental e por quê. Além da normalização já dada, uma f.d.p. precisa satisfazer a condição de não negatividade:
f(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Por que? Probabilidades não podem ser negativas. A integral \int_{A} f(x)\,dx representa a probabilidade de que X caia no conjunto A. Se f tivesse regiões negativas, a “probabilidade” de algum conjunto poderia virar negativa ou a integral total não faria sentido como 1. Portanto as duas condições que definem uma f.d.p. são:
\text{(i)}\quad f(x)\ge 0\\ \forall x,\qquad \text{(ii)}\quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.

Passo 3

Probabilidades de intervalos — a regra prática que você usa na prova. Se X tem f.d.p. f, então a probabilidade de X cair no intervalo [a,b] é a área sob f entre a e b:
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Observações úteis para prova:
  • Para variáveis contínuas, os eventos com um ponto isolado têm probabilidade zero, isto é
P(X=c)=\int_{c}^{c} f(x)\,dx = 0.
Portanto P(a<X\le b)=P(a\le X\le b)=P(a<X<b) — os parênteses nos extremos não importam.
  • No cálculo, use primitivação (anti-derivada) ou mudança de variável quando aparecer exponencial, potência, ou substituição trigonométrica.

Passo 4

Função distribuição acumulada (CDF) e relação com f. A CDF é definida por
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Propriedades importantes que valem em prova:
  • F é não decrescente.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty} F(x)=0 e \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x)=1.
  • Se f for contínua em x, então F é diferenciável em x e F'(x)=f(x). Em palavras: f é a derivada da CDF.

Passo 5

Esperança (valor esperado) — significado e fórmula. A esperança é a média ponderada dos valores que X\) pode assumir, com pesos dados por a densidade: \[\mu = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Cada símbolo:
  • E[X] é a esperança de X.
  • x dentro da integral é a variável de integração (o valor que X pode assumir).
  • f(x) pesa quanto “importância” cada x tem.
    Exemplo concreto e resolvido (uniforme no intervalo [a,b]). Primeiro o pdf do uniforme:
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & x\in[a,b],\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Calcular (E[X]]:
E[X]=\int_{a}^{b} x\cdot \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{a}^{b} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\right) = \frac{a+b}{2}.
Resultado intuitivo: a média do uniforme é o ponto médio do intervalo.]

Passo 6

Variância — definição e cálculo prático. A variância mede a dispersão em torno da média:
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-\mu)^{2}\big]=\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^{2} f(x)\,dx.
Fórmula prática para cálculo: \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}] - (E[X])^{2}, onde
E[X^{2}] = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx.
Continuando o exemplo do uniforme em [a,b]:
E[X^{2}] = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x^{2}\,dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{a}^{b} = \frac{b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}.
Usando a fatoração b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}), obtemos
E[X^{2}] = \frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3}.
Logo
\operatorname{Var}(X)=\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} = \frac{(b-a)^{2}}{12}.
Esse é um resultado padrão que vale sempre para o uniforme.

Passo 7

Como normalizar uma função (técnica muito usada em prova). Às vezes aparece uma função g(x)\ge 0 e o enunciado pede para transformá‑la em uma f.d.p. f(x)=c\cdot g(x). Deve-se escolher c tal que \int f =1. Assim
c=\frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,dx}.
Exemplo simples: g(x)=e^{-\lambda x} para x\ge 0 e g(x)=0 para x<0. Calcular c:
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx = \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda}.
Logo c=\lambda e a densidade normalizada é
f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x\ge 0,\\[4pt] 0, & x<0, \end{cases}
que é a f.d.p. da distribuição exponencial. Esse procedimento (calcular a integral e inverter) é padrão.]

Passo 8

Exemplo extra passo a passo (triangular simples) — prática para prova. Considere a função candidata f(x)=c(1-x) para 0\le x\le 1, zero fora. Primeiro encontre c:
\int_{0}^{1} c(1-x)\,dx = c\left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = c\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{c}{2}.
Impor normalização \frac{c}{2}=1 c=2. Então a f.d.p. é f(x)=2(1-x) em [0,1]. Se quiser a média:
E[X]=\int_{0}^{1} x\cdot 2(1-x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx =2\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}.
Pronto — esta é a forma de trabalhar com funções polinomiais em exames.

Passo 9

Transformações de variáveis (útil em provas quando pedem pdf de Y=g(X)). Se g é bijetora e diferenciável, e h=g^{-1}, então
f_{Y}(y)=f_{X}\big(h(y)\big)\cdot\big|h'(y)\big|.
Explicação curta: a probabilidade em pequenos intervalos conserva a massa, e o fator |h'(y)| corrige pela distorção na escala. Caso comum e muito usado: Y=aX+b com a\neq 0. Então h(y)=(y-b)/a e |h'(y)|=\tfrac{1}{|a|}. Assim
f_{Y}(y)=\frac{1}{|a|}\;f_{X}\!\bigg(\frac{y-b}{a}\bigg).
Exemplo rápido: se X é uniforme em [0,1] e Y=2X+3, então Y é uniforme em [3,5] com densidade f_{Y}(y)=\tfrac{1}{2} para y\in[3,5].

Passo 10

Dicas práticas e checklist para resolver questões de pdf na prova (resuma isto mentalmente antes de começar cada exercício):
  • Verificar suporte: identificar em quais x a função é não nula.
  • Verificar não negatividade em todo o suporte.
  • Normalizar: calcular a constante multiplicativa se necessário usando uma integral simples.
  • Calcular probabilidades por integração direta sobre os limites do suporte que interessam.
  • Para esperança/variância, usar E[X]=\int x f(x)\,dx e \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}.
  • Para transformações, lembrar da fórmula com |h'(y)| e checar monotonicidade.
  • Se tiver dúvida, faça desenho rápido da densidade para visualizar áreas (serve bastante para evitar erros).

Resposta

f(x) é f.d.p. se e somente se \;\,f(x)\ge 0\\ \forall x e \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.\n P(a\le X\le b)=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx.\n F(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt e F'(x)=f(x) quando f é contínua.\n E[X]=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,\quad \operatorname{Var}(X)=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^{2}f(x)\,dx=E[X^{2}]-(E[X])^{2}.\nSe Y=g(X) com g bijetora e h=g^{-1}, então f_{Y}(y)=f_{X}(h(y))\cdot|h'(y)|.

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