Exercício 3. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade dada por
k 1 2 3 4 5
p_{X}(k) a^{2} a^{2} a a a^{2}
(a) Encontre o valor de a.
(b) Calcule o valor esperado de X.

Passo 1

O enunciado dá X com suporte \{1,2,3,4,5\} e \;p_X(1)=p_X(2)=p_X(5)=a^2,\;\;p_X(3)=p_X(4)=a.
Precisamos usar (1) a condição de normalização \sum_k p_X(k)=1 para achar a e (2) depois calcular E(X)=\sum_k k\,p_X(k).

Passo 2

Escrevendo a soma das probabilidades igual a 1, obtemos
p_X(1)+p_X(2)+p_X(3)+p_X(4)+p_X(5) =3a^2+2a=1.
Isso leva à equação quadrática
3a^2+2a-1=0.

Passo 3

Para resolver 3a^2+2a-1=0, calculamos o discriminante
\Delta = 2^2 - 4\cdot3\cdot(-1) = 4 + 12 = 16.
As raízes são
a = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot3} = \frac{-2\pm4}{6},
isto é, a=1/3 ou a=-1. Como a deve gerar probabilidades não negativas, fica
a = \frac{1}{3}.

Passo 4

Com a=\tfrac{1}{3}, temos
p_X(1)=p_X(2)=p_X(5)=\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2=\tfrac{1}{9}, \quad p_X(3)=p_X(4)=\tfrac{1}{3}.
Então
E(X) =\sum_{k=1}^5 k\,p_X(k) =1\cdot\tfrac{1}{9}+2\cdot\tfrac{1}{9}+3\cdot\tfrac{1}{3}+4\cdot\tfrac{1}{3}+5\cdot\tfrac{1}{9} =\frac{8}{9}+\frac{7}{3} =\frac{8}{9}+\frac{21}{9} =\frac{29}{9}.

Resposta

a=\tfrac{1}{3} E(X)=\tfrac{29}{9}

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