Exercício 1. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
k -2 -1 0 1 2
p_{X}(k) 1 / 8 2 / 8 2 / 8 2 / 8 1 / 8
Calcule
\mathrm{E}(X) e \operatorname{Var}(X).

Passo 1

O enunciado oferece uma variável aleatória discreta X com valores -2,-1,0,1,2 e respectivas probabilidades \tfrac{1}{8},\tfrac{2}{8},\tfrac{2}{8},\tfrac{2}{8},\tfrac{1}{8}. Pede-se calcular \mathrm{E}(X) e \operatorname{Var}(X). Para isso vamos usar as definições
\mathrm{E}(X)=\sum_{k}k\,p_X(k),
\operatorname{Var}(X)=\mathrm{E}\bigl(X^2\bigr)-\bigl[\mathrm{E}(X)\bigr]^2.

Passo 2

Calcular \mathrm{E}(X) aplicando a soma sobre todos os valores de k:
\mathrm{E}(X) =\sum_{k=-2}^{2}k\,p_X(k) =(-2)\cdot\tfrac{1}{8}+(-1)\cdot\tfrac{2}{8}+0\cdot\tfrac{2}{8} +1\cdot\tfrac{2}{8}+2\cdot\tfrac{1}{8}.
Agrupando termos simétricos temos
(-2)\cdot\tfrac{1}{8}+2\cdot\tfrac{1}{8}=0, \quad (-1)\cdot\tfrac{2}{8}+1\cdot\tfrac{2}{8}=0,
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\mathrm{E}(X)=0.

Passo 3

Calcular \mathrm{E}(X^2) para usar na variância:
\mathrm{E}(X^2) =\sum_{k=-2}^{2}k^2\,p_X(k) =(-2)^2\cdot\tfrac{1}{8}+(-1)^2\cdot\tfrac{2}{8}+0^2\cdot\tfrac{2}{8} +1^2\cdot\tfrac{2}{8}+2^2\cdot\tfrac{1}{8}.
Isso dá
4\cdot\tfrac{1}{8}+1\cdot\tfrac{2}{8}+0+1\cdot\tfrac{2}{8}+4\cdot\tfrac{1}{8} =\tfrac{4+2+2+4}{8}=\tfrac{12}{8}=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a definição da variância:
\operatorname{Var}(X) =\mathrm{E}(X^2)-\bigl[\mathrm{E}(X)\bigr]^2 =\tfrac{3}{2}-0^2 =\tfrac{3}{2}.

Resposta

\mathrm{E}(X)=0 \operatorname{Var}(X)=\tfrac{3}{2}

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