Exercício 2. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
p_{X}(k)=c(k-2)^{2}, \quad k=3,4,5,6 .
Determine
(a) o valor de c.
(b) P(X<4).
(c) P(X \geqslant 5).

Passo 1

O enunciado define uma v.a. discreta X com suporte \{3,4,5,6\} e pmf
p_X(k)=c\,(k-2)^2.
O objetivo é (a) achar a constante de normalização c usando \sum p_X(k)=1, (b) calcular P(X<4) e (c) calcular P(X\ge5).

Passo 2

Para determinar c impomos
\sum_{k=3}^{6}p_X(k)=1 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=3}^{6}c\,(k-2)^2=1.
Calculamos (k-2)^2 em cada ponto: (3-2)^2=1,\;(4-2)^2=4,\;(5-2)^2=9,\;(6-2)^2=16.
Logo
c\,(1+4+9+16)=1 \quad\Longrightarrow\quad c\cdot30=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{30}.

Passo 3

Temos
P(X<4)=P(X\le3)=p_X(3) =\frac{1}{30}\,(3-2)^2 =\frac{1}{30}\cdot1 =\frac{1}{30}.

Passo 4

Para P(X\ge5) somamos p_X(5) e p_X(6):
P(X\ge5)=p_X(5)+p_X(6) =\frac{1}{30}\bigl((5-2)^2+(6-2)^2\bigr) =\frac{1}{30}(9+16) =\frac{25}{30} =\frac{5}{6}.

Resposta

(a) \displaystyle c=\frac{1}{30}.
(b) \displaystyle P(X<4)=\frac{1}{30}.
(c) \displaystyle P(X\ge5)=\frac{5}{6}.

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