Exercício 9 Sejam
,
e
uma solução de
. Mostre que
(a) Mostre que
é solução de
se, e somente se,
, com
.
(b) Se
, então a solução
é única.
(a) Mostre que
(b) Se
Passo 1
Resumo: temos a matriz
, o vetor
e uma solução particular
tal que
. O que vamos usar é a definição de núcleo (ou espaço nulo) de
, que é
, e a ideia de que todas as soluções se escrevem como uma solução particular mais algo que anula
.
Passo 2
Parte (a) “
”: suponha que
satisfaz
. Então
logo
Passo 3
Parte (a) “
”: agora tome qualquer
. Então
e usando
temos
Passo 4
Assim, todo vetor da forma
é solução de
. Juntando as duas implicações, mostramos que
Passo 5
Parte (b): se
, o único
é
. Logo a única solução de
é
, ou seja,
é única.
Resposta
O conjunto de soluções de
é
. Se
, então a única solução é
.