Exercício 9 Sejam Am times n in Mm times b(R), b in R^m e x0 in R^n uma solução de A x=b. Mostre que
(a) Mostre que y in R^n é solução de A x=b se, e somente se, y=x0+z, com z in N(A).
(b) Se N(A)=0, então a solução x0 é única.

Passo 1

Resumo: temos a matriz Ain R^mtimes n, o vetor bin R^m e uma solução particular x0in R^n tal que A x0=b. O que vamos usar é a definição de núcleo (ou espaço nulo) de A, que é N(A)=zin R^n:A z=0, e a ideia de que todas as soluções se escrevem como uma solução particular mais algo que anula A.

Passo 2

Parte (a) “ Rightarrow”: suponha que yin R^n satisfaz A y=b. Então
A(y-x0)=Ay - Ax0 = b - b =0,
logo y-x0in N(A) e, portanto, y=x0+z com z=y-x0in N(A).

Passo 3

Parte (a) “ Leftarrow”: agora tome qualquer zin N(A). Então A z=0 e usando A x0=b temos
A(x0+z)=Ax0 + A z = b + 0 = b

Passo 4

Assim, todo vetor da forma x0+z é solução de A x=b. Juntando as duas implicações, mostramos que
y:Ay=b=x0+z:zin N(A)

Passo 5

Parte (b): se N(A)=0, o único zin N(A) é z=0. Logo a única solução de A x=b é x0+0=x0, ou seja, x0 é única.

Resposta

O conjunto de soluções de A x=b é x0+z:zin N(A). Se N(A)=0, então a única solução é x0.

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