Exercício 3. Sejam
dois grupos com identidades
, respectivamente. Seja
Vamos definir uma operação
em
(de modo natural):
Mostre que
é um grupo.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois grupos
e
com identidades
e
. Definimos o produto cartesiano
com a operação “natural”
A meta é checar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos.
Passo 2
Fechamento: tome
e
em
. Como
e
são grupos, temos
Logo
está de novo em
. Portanto a operação é fechada.
Passo 3
Associatividade: pegue três elementos
,
,
em
. Então
Como em
e em
a operação é associativa, isto é
e
,
segue
e
segue
ou seja
.
Passo 4
Elemento neutro: proponha
. Para todo
,
pois
e
são neutros nos seus grupos. Logo
é o neutro de
.
Passo 5
Inversos: dado
, como
e
são grupos existem inversos
e
. Considere
. Então
Portanto
é inverso de
.
Resposta
Como verificamos fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e de inversos, concluímos que
é de fato um grupo.