Exercício 3. Sejam (G, triang<=) e(H, otimes) dois grupos com identidades eG e eH, respectivamente. Seja
G times H=(x, y) mid x in G, y in H
Vamos definir uma operação * em G times H (de modo natural):
(x1, y1) *(x2, y2)=(x1 triang<= x2, y1 otimes y2)
Mostre que (G times H, *) é um grupo.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois grupos (G,triang<=) e (H,otimes) com identidades eG e eH. Definimos o produto cartesiano
Gtimes H=(x,y)mid xin G,;yin H
com a operação “natural”
(x1,y1)*(x2,y2)=(,x1triang<= x2,;y1otimes y2,)
A meta é checar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos.

Passo 2

Fechamento: tome (x1,y1) e (x2,y2) em Gtimes H. Como G e H são grupos, temos
x1triang<= x2in G e y1otimes y2in H
Logo
(x1,y1)*(x2,y2)=(x1triang<= x2,,y1otimes y2)
está de novo em Gtimes H. Portanto a operação é fechada.

Passo 3

Associatividade: pegue três elementos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) em Gtimes H. Então
l((x1,y1)*(x2,y2)r)*(x3,y3) =(,x1triang<= x2,,y1otimes y2,)*(x3,y3) =(,(x1triang<= x2)triang<= x3,;(y1otimes y2)otimes y3,)
Como em G e em H a operação é associativa, isto é
(x1triang<= x2)triang<= x3=x1triang<=(x2triang<= x3)
e
(y1otimes y2)otimes y3=y1otimes(y2otimes y3),
segue
(x1,y1)*l((x2,y2)*(x3,y3)r) =(,x1triang<=(x2triang<= x3),;y1otimes(y2otimes y3),),
ou seja (a*b)*c=a*(b*c).

Passo 4

Elemento neutro: proponha (eG,eH). Para todo (x,y)in Gtimes H,
(eG,eH)*(x,y)=(eGtriang<= x,;eHotimes y)=(x,y),
(x,y)*(eG,eH)=(xtriang<= eG,;yotimes eH)=(x,y),
pois eG e eH são neutros nos seus grupos. Logo (eG,eH) é o neutro de (Gtimes H,*).

Passo 5

Inversos: dado (x,y)in Gtimes H, como G e H são grupos existem inversos x^-1 e y^-1. Considere (x^-1,y^-1). Então
(x,y)*(x^-1,y^-1)=(xtriang<= x^-1,;yotimes y^-1)=(eG,eH),
(x^-1,y^-1)*(x,y)=(x^-1triang<= x,;y^-1otimes y)=(eG,eH)
Portanto (x^-1,y^-1) é inverso de (x,y).

Resposta

Como verificamos fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e de inversos, concluímos que (Gtimes H,*) é de fato um grupo.

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