Exercício 7. Sejam
e
.
(a) Dê um exemplo de uma função de
em
que não seja nem injetiva nem sobrejetiva.
(b) Dê um exemplo de uma função de
em
que seja sobrejetiva mas não injetiva.
(c) Você pode encontrar uma função de
em
que seja injetiva?
(a) Dê um exemplo de uma função de
(b) Dê um exemplo de uma função de
(c) Você pode encontrar uma função de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A gente tem dois conjuntos:
e
. A pergunta quer que a gente trabalhe com funções que vão de
pra
, e a gente precisa dar exemplos específicos com certas propriedades:
- Parte (a): Função que não seja injetiva nem sobrejetiva.
- Parte (b): Função que seja sobrejetiva mas não injetiva.
- Parte (c): Verificar se é possível ter uma função injetiva de
pra .
Pra resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de função injetiva (cada elemento de
mapeia pra um elemento único em
) e função sobrejetiva (todos os elementos de
são atingidos por algum elemento de
).
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): queremos uma função que não é nem injetiva nem sobrejetiva. Isso significa que:
- Não injetiva: Pelo menos dois elementos de
mapeiam para o mesmo elemento de . - Não sobrejetiva: Pelo menos um elemento de
não é mapeado por nenhum elemento de .
Como
tem 4 elementos e
tem 3, se mapearmos dois elementos de
pro mesmo elemento de
, já perdemos a injetividade. Além disso, se deixarmos algum elemento de
sem ser atingido, não é sobrejetiva.
Um exemplo simples seria:
Nesse caso,
e
são usados, mas
nunca é atingido. Além disso,
e
mapeiam pra
, e
e
mapeiam pra
, então não é injetiva nem sobrejetiva.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): queremos uma função que seja sobrejetiva mas não injetiva. Isso significa que:
- Sobrejetiva: Todos os elementos de
são atingidos por pelo menos um elemento de . - Não injetiva: Pelo menos dois elementos de
mapeiam para o mesmo elemento de .
Vamos precisar distribuir os 4 elementos de
nos 3 de
, garantindo que todos os de
sejam usados, mas que pelo menos dois de
fiquem juntos no mesmo de
.
Um exemplo seria:
Aqui, todos os
são usados (sobrejetiva), mas
e
mapeiam pra
, então não é injetiva.
Passo 4
Por fim, vamos para a parte (c): precisamos verificar se existe uma função
que seja injetiva. Para uma função ser injetiva, cada elemento de
deve mapear para um elemento único em
.
No entanto,
tem 4 elementos e
tem apenas 3. Se tentarmos mapear 4 elementos de
para 3 de
, pelo menos dois elementos de
terão que mapear para o mesmo elemento de
, o que viola a injetividade.
Portanto, não é possível ter uma função injetiva de
para
.
Resposta
(a) Uma função que não é nem injetiva nem sobrejetiva é:
(b) Uma função que é sobrejetiva mas não injetiva é:
(c) Não é possível encontrar uma função de
em
que seja injetiva.