Exercício 7. Sejam A=a, b, c, d e B=x, y, z.
(a) Dê um exemplo de uma função de A em B que não seja nem injetiva nem sobrejetiva.
(b) Dê um exemplo de uma função de A em B que seja sobrejetiva mas não injetiva.
(c) Você pode encontrar uma função de A em B que seja injetiva?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A gente tem dois conjuntos: A = a, b, c, d e B = x, y, z . A pergunta quer que a gente trabalhe com funções que vão de A pra B , e a gente precisa dar exemplos específicos com certas propriedades:
  • Parte (a): Função que não seja injetiva nem sobrejetiva.
  • Parte (b): Função que seja sobrejetiva mas não injetiva.
  • Parte (c): Verificar se é possível ter uma função injetiva de A pra B .
Pra resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de função injetiva (cada elemento de A mapeia pra um elemento único em B ) e função sobrejetiva (todos os elementos de B são atingidos por algum elemento de A ).

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): queremos uma função que não é nem injetiva nem sobrejetiva. Isso significa que:
  • Não injetiva: Pelo menos dois elementos de A mapeiam para o mesmo elemento de B .
  • Não sobrejetiva: Pelo menos um elemento de B não é mapeado por nenhum elemento de A .
Como A tem 4 elementos e B tem 3, se mapearmos dois elementos de A pro mesmo elemento de B , já perdemos a injetividade. Além disso, se deixarmos algum elemento de B sem ser atingido, não é sobrejetiva.
Um exemplo simples seria:
f(a) = x, f(b) = x, f(c) = y, f(d) = y
Nesse caso, x e y são usados, mas z nunca é atingido. Além disso, a e b mapeiam pra x , e c e d mapeiam pra y , então não é injetiva nem sobrejetiva.

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): queremos uma função que seja sobrejetiva mas não injetiva. Isso significa que:
  • Sobrejetiva: Todos os elementos de B são atingidos por pelo menos um elemento de A .
  • Não injetiva: Pelo menos dois elementos de A mapeiam para o mesmo elemento de B .
Vamos precisar distribuir os 4 elementos de A nos 3 de B , garantindo que todos os de B sejam usados, mas que pelo menos dois de A fiquem juntos no mesmo de B .
Um exemplo seria:
f(a) = x, f(b) = y, f(c) = z, f(d) = z
Aqui, todos os x, y, z são usados (sobrejetiva), mas c e d mapeiam pra z , então não é injetiva.

Passo 4

Por fim, vamos para a parte (c): precisamos verificar se existe uma função f: A to B que seja injetiva. Para uma função ser injetiva, cada elemento de A deve mapear para um elemento único em B .
No entanto, A tem 4 elementos e B tem apenas 3. Se tentarmos mapear 4 elementos de A para 3 de B , pelo menos dois elementos de A terão que mapear para o mesmo elemento de B , o que viola a injetividade.
Portanto, não é possível ter uma função injetiva de A para B .

Resposta

(a) Uma função que não é nem injetiva nem sobrejetiva é:
f(a) = x, f(b) = x, f(c) = y, f(d) = y
(b) Uma função que é sobrejetiva mas não injetiva é:
f(a) = x, f(b) = y, f(c) = z, f(d) = z
(c) Não é possível encontrar uma função de A em B que seja injetiva.

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