O volume, v, de uma superfície de revolução gerada por uma curva contínua f(x), a <= x <= b, em torno do eixo y=0, é dada por v=pi integrala^b f(x)^2 d x. Obtenha o volume da(o):
esfera de raio R;

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma esfera de raio R obtido como volume de revolução em torno de y=0. Vamos usar a fórmula de volume por discos:
v = pi integrala^b l[f(x)r]^2 ,dx

Passo 2

Para gerar a esfera, consideramos a semicircunferência superior de equação
f(x) = raizR^2 - x^2,
com x variando de a=-R até b=R.

Passo 3

Substituindo na fórmula de volume, obtemos
v = pi integral-R^R l(raizR^2 - x^2r)^2 ,dx = pi integral-R^R l(R^2 - x^2r) ,dx

Passo 4

Calculamos a integral:
integral-R^R l(R^2-x^2r),dx = l[R^2x - tfracx^33r]-R^R = l(R^3-tfracR^33r)-l(-R^3+tfracR^33r) = tfrac43R^3
Logo,
v = pi times tfrac43R^3

Resposta

v = 43,pi,R^3

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