Exercício 9. Sejam A \in M_{n}(\mathbb{R}) e u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r} vetores pertencentes ao espaço vetorial real ( M_{n \times 1}(\mathbb{R}),+, \cdot ). Mostre que, se os vetores coluna A u_{1}, A u_{2}, \cdots, A u_{r} são vetores L.I. , então os vetores u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r} também serão L.I. no espaço vetorial real ( M_{n \times 1}(\mathbb{R}),+, \cdot ).

Passo 1

O enunciado diz que A\in M_{n}(\mathbb{R}) e que u_{1},\dots,u_{r} são vetores em M_{n\times1}(\mathbb{R}). Sabemos que os vetores coluna A u_{1},\dots,A u_{r} são linearmente independentes (L.I.) e queremos mostrar que então u_{1},\dots,u_{r} também são L.I. O conteúdo usado será a definição de independência linear e o fato de que A é uma aplicação linear.

Passo 2

Para verificar se u_{1},\dots,u_{r} são L.I., suponha que existam escalares \alpha_{1},\dots,\alpha_{r} tais que
\alpha_{1}u_{1}+\cdots+\alpha_{r}u_{r}=0.
Como A é linear, aplicando A a essa combinação, obtemos
A(\alpha_{1}u_{1}+\cdots+\alpha_{r}u_{r}) =\alpha_{1}A u_{1}+\cdots+\alpha_{r}A u_{r} =0.

Passo 3

Pela hipótese, os vetores A u_{1},\dots,A u_{r} são L.I., portanto a única forma de
\alpha_{1}A u_{1}+\cdots+\alpha_{r}A u_{r}=0
é ter \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{r}=0. Logo, na combinação
\alpha_{1}u_{1}+\cdots+\alpha_{r}u_{r}=0
todos os coeficientes também são nulos, o que prova que u_{1},\dots,u_{r} são L.I.

Resposta

Os vetores u_{1},u_{2},\dots,u_{r} são linearmente independentes.

Exercícios relacionados