Exercício 9. Sejam
e
vetores pertencentes ao espaço vetorial real (
). Mostre que, se os vetores coluna
são vetores L.I. , então os vetores
também serão L.I. no espaço vetorial real (
).
Passo 1
O enunciado diz que
e que
são vetores em
. Sabemos que os vetores coluna
são linearmente independentes (L.I.) e queremos mostrar que então
também são L.I. O conteúdo usado será a definição de independência linear e o fato de que
é uma aplicação linear.
Passo 2
Para verificar se
são L.I., suponha que existam escalares
tais que
Como
é linear, aplicando
a essa combinação, obtemos
Passo 3
Pela hipótese, os vetores
são L.I., portanto a única forma de
é ter
. Logo, na combinação
todos os coeficientes também são nulos, o que prova que
são L.I.
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes.