Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II - O conjunto
é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
I - O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais que
II - O conjunto
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais, isto é, quais satisfazem simultaneamente:
- Contêm o vetor zero.
- São fechados sob soma.
- São fechados sob multiplicação escalar.
Os conjuntos são:
I – , onde
é o espaço dos polinômios de grau
.
II – .
III – tem todas as entradas positivas
, onde
é
.
I –
II –
III –
Passo 2
Analisando I: defina a aplicação linear
Então
. Todo kernel de aplicação linear é subespaço, pois contém o polinômio zero e é fechado sob soma e escalar. Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: o conjunto
é o subespaço trivial de
. Ele contém o zero, e soma ou múltiplo escalar do zero é sempre o zero. Portanto, II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III: o vetor zero satisfaz
, cujas entradas são todas nulas, não positivas. Assim o zero não pertence a
, violando a condição de conter o zero. Logo, III não é subespaço.
Resposta
(H) Apenas I e II são verdadeiras.