Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais que p(8)=6 p(2) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{4} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 7 \times 4 é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais, isto é, quais satisfazem simultaneamente:
  1. Contêm o vetor zero.
  2. São fechados sob soma.
  3. São fechados sob multiplicação escalar.
Os conjuntos são:
I – W_1=\{p\in P_2 \mid p(8)=6\,p(2)\}, onde P_2 é o espaço dos polinômios de grau <=2.
II – W_2=\{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^4.
III – W_3=\{\vec v\in\mathbb{R}^4 \mid A\vec v tem todas as entradas positivas \}, onde A é 7\times4.

Passo 2

Analisando I: defina a aplicação linear
L\colon P_2\to\mathbb{R},\quad L(p)=p(8)-6\,p(2).
Então W_1=\ker L. Todo kernel de aplicação linear é subespaço, pois contém o polinômio zero e é fechado sob soma e escalar. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: o conjunto \{(0,0,0,0)\} é o subespaço trivial de \mathbb{R}^4. Ele contém o zero, e soma ou múltiplo escalar do zero é sempre o zero. Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: o vetor zero satisfaz A\cdot\vec0=\vec0, cujas entradas são todas nulas, não positivas. Assim o zero não pertence a W_3, violando a condição de conter o zero. Logo, III não é subespaço.

Resposta

(H) Apenas I e II são verdadeiras.

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