Exercício 8. Sejam u_{1} \doteq(1,3,5) e u_{2} \doteq(2,4,-3) vetores do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ). Determine valores de k \in \mathbb{R}, para que o vetor v \doteq(2,7, k) possa ser escrito como combinação linear dos vetores u_{1} e u_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que queremos escrever
v = (2,7,k)
como combinação linear de
u_1 = (1,3,5) \quad\text{e}\quad u_2 = (2,4,-3).
Isto significa encontrar escalares a e b tais que
a\,u_1 + b\,u_2 = v.
O conteúdo aqui é combinação linear e condição de compatibilidade de um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo a igualdade componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b = 2,\\\\ 3a + 4b = 7,\\\\ 5a - 3b = k. \end{cases}
As duas primeiras equações determinam a e b; a terceira impõe o valor de k para compatibilizar a combinação.

Passo 3

Da primeira equação tiramos
a = 2 - 2b.
Substituindo na segunda:
3(2 - 2b) + 4b = 7 \;\Longrightarrow\; 6 - 6b + 4b = 7 \;\Longrightarrow\; -2b = 1 \;\Longrightarrow\; b = -\tfrac12.
Logo
a = 2 - 2\bigl(-\tfrac12\bigr) = 2 + 1 = 3.

Passo 4

Agora usamos a=3 e b=-\tfrac12 na terceira equação para achar k:
k = 5a - 3b = 5\cdot 3 \;-\;3\bigl(-\tfrac12\bigr) = 15 + \tfrac32 = \tfrac{33}{2}.

Resposta

O valor de k para o qual v é combinação linear de u_1 e u_2 é
k = \tfrac{33}{2}.

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