Exercício 8. Sejam u_{1} \doteq(1,3,5) e u_{2} \doteq(2,4,-3) vetores do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ). Determine valores de k \in \mathbb{R}, para que o vetor v \doteq(2,7, k) possa ser escrito como combinação linear dos vetores u_{1} e u_{2}.
Passo 1
O enunciado diz que queremos escrever
v = (2,7,k)
como combinação linear de
u_1 = (1,3,5) \quad\text{e}\quad u_2 = (2,4,-3).
Isto significa encontrar escalares a e b tais que
a\,u_1 + b\,u_2 = v.
O conteúdo aqui é combinação linear e condição de compatibilidade de um sistema linear.
Passo 2
Escrevendo a igualdade componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b = 2,\\\\ 3a + 4b = 7,\\\\ 5a - 3b = k. \end{cases}
As duas primeiras equações determinam a e b; a terceira impõe o valor de k para compatibilizar a combinação.