Exercício 9. Sejam
e
vetores pertencentes ao espaço vetorial real (
). Mostre que, se os vetores coluna
são vetores L.I. , então os vetores
também serão L.I. no espaço vetorial real (
).
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
e vetores coluna
. Queremos mostrar que, se os vetores
são linearmente independentes, então os vetores
também são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto
é L.I. se toda combinação linear que gera o vetor zero implica que todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Suponha, para fins de prova, que exista uma combinação linear dos
que dê o vetor nulo, ou seja, existam escalares
tais que
Passo 3
Aplicamos
em ambos os lados da igualdade. Como
é linear, obtemos
Portanto,
Passo 4
Pela hipótese, os vetores
são L.I. Logo, a única solução para
é
. Mas esses mesmos
eram os coeficientes da combinação que anula os
. Concluímos, então, que a única combinação linear dos
que gera zero também tem todos os coeficientes nulos, ou seja,
são L.I.
Resposta
Como mostramos que qualquer combinação linear dos
que dê zero força todos os coeficientes a serem zero, concluímos que
são linearmente independentes.