Exercício 9. Sejam A \in M_{n}(\mathbb{R}) e u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r} vetores pertencentes ao espaço vetorial real ( M_{n \times 1}(\mathbb{R}),+, \cdot ). Mostre que, se os vetores coluna A u_{1}, A u_{2}, \cdots, A u_{r} são vetores L.I. , então os vetores u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r} também serão L.I. no espaço vetorial real ( M_{n \times 1}(\mathbb{R}),+, \cdot ).

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A\in M_{n}(\mathbb{R}) e vetores coluna u_{1},u_{2},\dots,u_{r}\in M_{n\times1}(\mathbb{R}). Queremos mostrar que, se os vetores A u_{1},A u_{2},\dots,A u_{r} são linearmente independentes, então os vetores u_{1},u_{2},\dots,u_{r} também são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto \{v_i\} é L.I. se toda combinação linear que gera o vetor zero implica que todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Suponha, para fins de prova, que exista uma combinação linear dos u_i que dê o vetor nulo, ou seja, existam escalares \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r\in\mathbb{R} tais que
\alpha_{1}u_{1} + \alpha_{2}u_{2} + \cdots + \alpha_{r}u_{r} = 0.

Passo 3

Aplicamos A em ambos os lados da igualdade. Como A é linear, obtemos
A\bigl(\alpha_{1}u_{1} + \alpha_{2}u_{2} + \cdots + \alpha_{r}u_{r}\bigr) = \alpha_{1}A u_{1} + \alpha_{2}A u_{2} + \cdots + \alpha_{r}A u_{r} = A(0) = 0.
Portanto,
\alpha_{1}A u_{1} + \alpha_{2}A u_{2} + \cdots + \alpha_{r}A u_{r} = 0.

Passo 4

Pela hipótese, os vetores A u_{1}, A u_{2}, \dots, A u_{r} são L.I. Logo, a única solução para
\alpha_{1}A u_{1} + \alpha_{2}A u_{2} + \cdots + \alpha_{r}A u_{r} = 0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{r}=0. Mas esses mesmos \alpha_i eram os coeficientes da combinação que anula os u_i. Concluímos, então, que a única combinação linear dos u_i que gera zero também tem todos os coeficientes nulos, ou seja, u_{1},\dots,u_{r} são L.I.

Resposta

Como mostramos que qualquer combinação linear dos u_i que dê zero força todos os coeficientes a serem zero, concluímos que u_{1},u_{2},\dots,u_{r} são linearmente independentes.

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