Verifique se o subconjunto S do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) é L.I. ou L.D. .
S \doteq\{f, g\} e V \doteq C^{\infty}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}), munido das operações usuais, onde
f(x) \doteq e^{x}, \quad g(x) \doteq e^{-x}, \text { para } x \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se S=\{f,g\} em V=C^\infty(\mathbb{R};\mathbb{R}), com
f(x)=e^x,\quad g(x)=e^{-x},
é linearmente independente ou dependente. Para isso, usamos a definição: S é linearmente dependente se existem escalares a,b, não ambos zero, tais que a combinação
a\,f + b\,g
é a função nula. Caso contrário, S é linearmente independente.

Passo 2

Formulamos a condição de dependência linear:
a\,e^x + b\,e^{-x} = 0,\quad \forall x\in\mathbb{R}.
Multiplicando ambos os lados por e^x, obtemos a identidade
a\,e^{2x} + b = 0,\quad \forall x\in\mathbb{R}.

Passo 3

A função h(x)=a\,e^{2x}+b é identicamente zero. Diferenciando em relação a x
h'(x)=2a\,e^{2x}=0,\quad \forall x,
logo a=0. Substituindo a=0 em a\,e^{2x}+b=0 resulta b=0. Como a única solução é a trivial, concluímos que S é linearmente independente.

Resposta

S é linearmente independente.

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