Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{16}\right) \in \mathbb{R}^{16} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{7} & =x_{2} \\\ x_{11} & =x_{13} \\\ x_{11}+x_{7} & =x_{13}+x_{2} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 15
(B) 2
(C) 4
(D) 12
(E) 16
(F) 3
(G) 13
(H) 14

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de S\subset\mathbb{R}^{16}\) definido por três equações lineares: \[\begin{cases} x_{7}=x_{2},\\\ x_{11}=x_{13},\\\ x_{11}+x_{7}=x_{13}+x_{2}. \end{cases}
O conteúdo necessário é saber que a dimensão de um espaço solução de um sistema linear homogêneo em \mathbb{R}^{n}\] é \(n - \mathrm{posto}(A), onde A é a matriz das restrições.

Passo 2

Vamos verificar a independência das equações. Da primeira equação temos
x_{7}-x_{2}=0,
e da segunda
x_{11}-x_{13}=0.
Somando essas duas igualdades obtemos
(x_{11}-x_{13}) + (x_{7}-x_{2}) = 0,
que é exatamente a terceira equação
x_{11}+x_{7}-x_{13}-x_{2}=0.
Logo, a terceira é combinação linear das duas primeiras e não introduz nova restrição.

Passo 3

Como há apenas duas restrições lineares independentes em um espaço de dimensão 16, a dimensão de S é
16 - 2 = 14.

Resposta

(H)

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