Exercício 5. Sejam C=\{x \in \mathbb{Z}: x é múltiplo de 12 \} e D=\{x \in \mathbb{Z}: x é múltiplo de 36 \}.
(a) O conjunto C está contido no conjunto D ?
(b) O conjunto D está contido no conjunto C ?
(c) O conjunto C é igual ao conjunto D ?
Justifique!

Passo 1

O enunciado define dois subconjuntos de inteiros por divisibilidade:
C = \{x \in \mathbb{Z}\mid 12 \mid x\},
D = \{x \in \mathbb{Z}\mid 36 \mid x\}.
O conteúdo é teoria de conjuntos e propriedade de divisibilidade. Vamos verificar as inclusões e, ao final, a igualdade entre C e D.

Passo 2

Verificar se C\subseteq D. Por definição, isso exigiria que todo x múltiplo de 12 fosse também múltiplo de 36.
Contraexemplo: x=12 satisfaz 12\mid12, logo 12\in C. Mas 36\nmid12, então 12\notin D.
Portanto, C\not\subseteq D.

Passo 3

Verificar se D\subseteq C. Seja x\in D. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que x=36k. Escrevemos
x = 36k = 12\,(3k),
logo 12\mid x e x\in C. Como x foi um elemento arbitrário de D, concluímos D\subseteq C.

Passo 4

Concluir sobre a igualdade C=D. Dois conjuntos são iguais se e somente se cada um está contido no outro. Aqui, vimos que D\subseteq C mas C\not\subseteq D. Logo, não há igualdade.

Resposta

(a) Não.
(b) Sim.
(c) Não.

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