Exercício 5. Sejam
é múltiplo de 12
e
é múltiplo de 36
.
(a) O conjunto
está contido no conjunto
?
(b) O conjunto
está contido no conjunto
?
(c) O conjunto
é igual ao conjunto
?
Justifique!
(a) O conjunto
(b) O conjunto
(c) O conjunto
Passo 1
O enunciado define dois subconjuntos de inteiros por divisibilidade:
O conteúdo é teoria de conjuntos e propriedade de divisibilidade. Vamos verificar as inclusões e, ao final, a igualdade entre
e
.
Passo 2
Verificar se
. Por definição, isso exigiria que todo
múltiplo de 12 fosse também múltiplo de 36.
Contraexemplo: satisfaz
, logo
. Mas
, então
.
Portanto, .
Contraexemplo:
Portanto,
Passo 3
Verificar se
. Seja
. Então existe
tal que
. Escrevemos
logo
e
. Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos
.
Passo 4
Concluir sobre a igualdade
. Dois conjuntos são iguais se e somente se cada um está contido no outro. Aqui, vimos que
mas
. Logo, não há igualdade.
Resposta
(a) Não.
(b) Sim.
(c) Não.
(b) Sim.
(c) Não.