Exercício 4. Sejam A=\{x \in \mathbb{Z}: x é múltiplo de 4 \} e B=\{x \in \mathbb{Z}: x é par \}.
(a) O conjunto A está contido no conjunto B ?
(b) O conjunto B está contido no conjunto A ?
(c) O conjunto A é igual ao conjunto B ?
Justifique!

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos de inteiros:
A = \{\,x \in \mathbb{Z} : x é múltiplo de 4 \} e
B = \{\,x \in \mathbb{Z} : x é par \}.
Queremos analisar as relações de inclusão A \subseteq B, B \subseteq A e, por fim, igualdade A = B.

Passo 2

Para verificar se A\subseteq B, tomamos um elemento arbitrário x\in A. Por definição de A, existe k\in\mathbb{Z} tal que
x = 4k.
Como 4k = 2\,(2k), concluímos que x é divisível por 2, isto é, x é par. Logo x\in B. Como isso vale para todo x\in A, temos
A \subseteq B.

Passo 3

Para verificar se B\subseteq A, basta encontrar um elemento de B que não esteja em A. Por exemplo, 2\in B pois é par. Mas não existe k\in\mathbb{Z} com 2=4k; portanto 2\notin A. Assim
B \not\subseteq A.

Passo 4

Do fato de A\subseteq B e B\not\subseteq A segue que A e B não são iguais. Para dois conjuntos serem iguais é preciso que cada um esteja contido no outro, o que aqui falha para B\subseteq A.

Resposta

(a) Sim.
(b) Não.
(c) Não.

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