Exercício 7 Sejam A uma matriz
e
uma matriz
. Mostre que se o sistema linear homogêneo
é determinado então o sistema linear
também é determinado. (Compare com o item (a) do exercício anterior.)
Passo 1
Temos uma matriz
e
. O enunciado pede para mostrar que, se o sistema homogêneo
é determinado, então o sistema homogêneo
também é determinado. Vamos usar noções de núcleo (ker) de uma transformação linear.
Passo 2
Um sistema homogêneo
é determinado se e somente se
. Pela hipótese, como
é determinado, temos
Passo 3
Se
satisfaz
, então
Isso mostra que qualquer
Passo 4
Como
, a inclusão
implica
. Dessa forma, o sistema
tem apenas a solução trivial.
Passo 5
Concluímos que o sistema
é determinado, pois
.
Resposta
Como
, o sistema homogêneo
é determinado.