Exercício 7 Sejam A uma matriz n times m e B uma matriz m times k. Mostre que se o sistema linear homogêneo (A B) X=0 é determinado então o sistema linear B X=0 também é determinado. (Compare com o item (a) do exercício anterior.)

Passo 1

Temos uma matriz AinR^ntimes m e BinR^mtimes k. O enunciado pede para mostrar que, se o sistema homogêneo (A,B)X=0 é determinado, então o sistema homogêneo B X=0 também é determinado. Vamos usar noções de núcleo (ker) de uma transformação linear.

Passo 2

Um sistema homogêneo M X=0 é determinado se e somente se ker(M)=0. Pela hipótese, como (A,B)X=0 é determinado, temos
ker(A,B)=0

Passo 3

Se X satisfaz B X=0, então
(A,B)X = A,(B X) = A(0) = 0
Isso mostra que qualquer Xinker(B) pertence a ker(A,B), ou seja,
ker(B)subseteqker(A,B).

Passo 4

Como ker(A,B)=0, a inclusão ker(B)subseteq0 implica ker(B)=0. Dessa forma, o sistema B X=0 tem apenas a solução trivial.

Passo 5

Concluímos que o sistema B X=0 é determinado, pois ker(B)=0.

Resposta

Como ker(B)=0, o sistema homogêneo B X=0 é determinado.

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